Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 14, 32, 13, 24, 51, 18.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 36?

μ = 60σ = 12x = 36

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.25, 0.2

σ =

4.KebarangkalianSukar

5 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 5p = 0.6

P =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 45.5 dan 85 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 45.5x₂ = 85

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 15 item mempunyai min 97 dan sisihan piawai s = 2.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 15x̄ = 97s = 2.599%t(14) = 2.977

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 13 petak, min hasil 42 kg, sisihan piawai 3.5 kg. Kumpulan petak 2: 9 petak, min 50 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 42s₁ = 3.5n₂ = 9x̄₂ = 50s₂ = 9.590%t(20) = 1.725

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 500; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 495.08. Uji H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500. Cari nilai-p p.

μ₀ = 500σ = 20n = 100x̄ = 495.08H₁: μ < μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 121.7. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 121.7σ = 8n = 10099%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 18.

n = 5x = 18

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.42

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 152/6 = 25.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−11.33)² + 6.667² + (−12.33)² + (−1.333)² + 25.67² + (−7.333)² = 1039

Sisihan piawai

s = √(1039/5) = 14.42

Jawapan

s = 14.42

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9772

Piawaikan

z = −2

Jadual normal piawai

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

Jawapan

P = 0.9772

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.068

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2.4

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6.9

Varians

Var(X) = 6.9 − 2.4² = 1.14

σ = √1.14 = 1.068

Jawapan

σ = 1.068

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.08704

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.4⁵ = 0.01024

P(X = 1) = 5·0.6·0.4⁴ = 0.0768

Tambahkannya

P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704

Jawapan

P = 0.08704

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9517

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95

z₂ = (85 − 65)/10 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(−1.95) = 0.9772 − 0.02559 = 0.9517

Jawapan

P = 0.9517

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9099

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.02236 = −1.34

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.34) = 0.9099

Jawapan

P = 0.9099

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 95.08

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 14, t = 2.977

Margin ralat

E = 2.977·2.5/√15 = 1.922

Selang

97 ± 1.922 → [95.08, 98.92]

Jawapan

had bawah = 95.08

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −3.069 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (12·3.5² + 8·9.5²)/20 = 43.45

s_p = 6.592

Margin ralat

E = 1.725·6.592·√(1/13 + 1/9) = 4.931

Selang

−8 ± 4.931 → [−12.93, −3.069]

Jawapan

had atas = −3.069 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.006947

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 20/√100 = 2

z = (495.08 − 500)/2 = −2.46

Luas ekor

Φ(2.46) = 0.9931

1 − Φ(2.46) = 0.0069

Nilai-p

p = 0.006947

Jawapan

p = 0.006947

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 123.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·8/√100 = 2.061

Had selang

U = 121.7 + 2.061 = 123.8

Jawapan

U = 123.8

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.974

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 81/5 = 16.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −33

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 114.8

Pekali korelasi

r = −33/√(10·114.8) = −0.974

Jawapan

r = −0.974

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 36.75

Min

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 237/5 = 47.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

Garis regresi

b = 142/40 = 3.55

a = 47.4 − 3.55·21 = −27.15

ŷ = −27.15 + 3.55·x

Ramalan

ŷ = −27.15 + 3.55·18 = 36.75

Jawapan

ŷ = 36.75

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1