Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 18, 11, 39, 40, 53.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 452?
μ = 500σ = 60x = 452
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 8 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?
n = 8p = 0.7k = 1
P =
5.Taburan normalSederhana
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 96.25 dan 127.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 100σ = 15x1 = 96.25x2 = 127.75
P =
6.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 75% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.
μ = 500 hσ = 40 h75%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 64 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 8.4. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 95% daripada data yang sama?
99%n₁ = 64E₁ = 8.495%
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 15. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 5?
σ = 15E = 599%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 202 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 202s = 10n = 36
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 52 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 57 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 52n₁ = 80x₂ = 57n₂ = 100
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 75) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(4.5, 75)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.25
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 161/5 = 32.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−14.2)² + (−21.2)² + 6.8² + 7.8² + 20.8² = 1191
Sisihan piawai
s = √(1191/4) = 17.25
Jawapan
s = 17.25
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7881
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 0.8047
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55
Varians
Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047
Jawapan
σ = 0.8047
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.001225
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 1) = 8·0.71·0.37 = 8·0.7·0.0002187 = 0.001225
Jawapan
P = 0.001225
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.5665
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (96.25 − 100)/15 = −0.25
z₂ = (127.75 − 100)/15 = 1.85
Luas antara
P = Φ(1.85) − Φ(−0.25) = 0.9678 − 0.4013 = 0.5665
Jawapan
P = 0.5665
6.Taburan normal
Jawapan: x = 473 h
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.25
z daripada jadual
z ≈ −0.67
Kembali kepada unit asal
x = 500 − 0.67·40 = 473 h
Jawapan
x = 473 h
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 6.391
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(64/64) = 0.7609
Margin baharu
E₂ = 8.4·0.7609 = 6.391
Jawapan
E₂ = 6.391
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 60
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·15/5)² = 59.72
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 60
Jawapan
n = 60
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.2
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
Statistik ujian
t = (202 − 200)/1.667 = 1.2
Jawapan
t = 1.2
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 1.091
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 52/80 = 0.65
p̂₂ = 57/100 = 0.57
p̂ = 109/180 = 0.6056
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.6056·0.3944·(1/80 + 1/100)) = 0.07331
Statistik ujian
z = (0.65 − 0.57)/0.07331 = 1.091
Jawapan
z = 1.091
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9131
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 91/6 = 15.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 50.83
Pekali penentuan
r² = −28.5²/(17.5·50.83) = 0.9131
Jawapan
r² = 0.9131
Kira-kira 91.31% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 2.19
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 406/6 = 67.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 90
Garis regresi
b = 90/17.5 = 5.143
a = 67.67 − 5.143·3.5 = 49.67
ŷ = 49.67 + 5.143·x
Nilai ramalan
ŷ = 49.67 + 5.143·4.5 = 72.81
Reja
e = 75 − 72.81 = 2.19
Jawapan
e = 2.19
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1