Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 56, 10, 47, 44, 11, 51, 48.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 166?

μ = 170σ = 5x = 166

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 9p = 0.7k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya di bawah 301.7 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 301.7 kg

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 5% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 10 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 5.2 dan sisihan piawai 2.4. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 10d̄ = 5.2s_d = 2.490%t(9) = 1.833

had bawah = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.02?

p = 0.5E = 0.0290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 19 pelajar, skor min 96.5, sisihan piawai 10.5. Kumpulan 2: 7 pelajar, skor min 105.7, sisihan piawai 5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 19x̄₁ = 96.5s₁ = 10.5n₂ = 7x̄₂ = 105.7s₂ = 5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 30 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 50 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 30n₁ = 100x₂ = 50n₂ = 200

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (10, 58) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(10, 58)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.25

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 267/7 = 38.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 17.86² + (−28.14)² + 8.857² + 5.857² + (−27.14)² + 12.86² + 9.857² = 2223

Sisihan piawai

s = √(2223/6) = 19.25

Jawapan

s = 19.25

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2119

Piawaikan

z = −0.8

Jadual normal piawai

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

Jawapan

P = 0.2119

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.6475

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

Jawapan

Var(X) = 0.6475

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.07351

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 4) = 126·0.7⁴·0.3⁵ = 126·0.2401·0.00243 = 0.07351

Jawapan

P = 0.07351

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8365

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

Piawaikan

z = (301.7 − 300)/1.732 = 0.98

Kebarangkalian

P = Φ(0.98) = 0.8365

Jawapan

P = 0.8365

6.Taburan normal

Jawapan: x = 434 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

Jawapan

x = 434 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 3.809 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 9, t = 1.833

Margin ralat

E = 1.833·2.4/√10 = 1.391

Selang

5.2 ± 1.391 → [3.809, 6.591]

Jawapan

had bawah = 3.809 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

Bundarkan ke atas

n = 1692

Jawapan

n = 1692

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.206

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (18·10.5² + 6·5²)/24 = 88.94

s_p = 9.431

Ralat piawai

SE = 9.431·√(1/19 + 1/7) = 4.17

Statistik ujian

t = (96.5 − 105.7)/4.17 = −2.206

Jawapan

t = −2.206

Dengan df = 24, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.064; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.9232

Perkadaran sampel

p̂₁ = 30/100 = 0.3

p̂₂ = 50/200 = 0.25

p̂ = 80/300 = 0.2667

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.2667·0.7333·(1/100 + 1/200)) = 0.05416

Statistik ujian

z = (0.3 − 0.25)/0.05416 = 0.9232

Jawapan

z = 0.9232

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.8755

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 106/5 = 21.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 102.8

Pekali penentuan

r² = −30²/(10·102.8) = 0.8755

Jawapan

r² = 0.8755

Kira-kira 87.55% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.15

Min

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 234/5 = 46.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

Garis regresi

b = 94/40 = 2.35

a = 46.8 − 2.35·7 = 30.35

ŷ = 30.35 + 2.35·x

Nilai ramalan

ŷ = 30.35 + 2.35·10 = 53.85

Reja

e = 58 − 53.85 = 4.15

Jawapan

e = 4.15

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1