Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 23, 59, 44, 25, 10.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 190.
μ = 170σ = 20x = 190
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.2, 0.35, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €4 dengan kebarangkalian 0.25 dan €10 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €1€4: p = 0.25€10: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 169.6 dan 179.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 169.6x2 = 179.75
P =
6.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 item mempunyai min 90.5 dan sisihan piawai s = 19.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.
n = 16x̄ = 90.5s = 19.590%t(15) = 1.753
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 10. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?
σ = 10E = 2.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 40 bahagian mempunyai min panjang 72 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 18 mm. Talian 2: sampel 60 bahagian mempunyai min 64.6 mm, sisihan piawai diketahui 16 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 40x̄₁ = 72 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 60x̄₂ = 64.6 mmσ₂ = 16 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 5E = 1.590%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 135Σy = 401Σx² = 3195Σy² = 29159Σxy = 9618
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 59?
n = 6ŷ = 59
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 19.28
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 161/5 = 32.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−9.2)² + 26.8² + 11.8² + (−7.2)² + (−22.2)² = 1487
Sisihan piawai
s = √(1487/4) = 19.28
Jawapan
s = 19.28
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = 1
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (190 − 170)/20 = 1
Jawapan
z = 1
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 0.9734
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.35 + 4·0.35 = 2.95
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.35 + 16·0.35 = 9.65
Varians
Var(X) = 9.65 − 2.95² = 0.9475
σ = √0.9475 = 0.9734
Jawapan
σ = 0.9734
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 0.1 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 3 (p = 0.25), 9 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)
Nilai jangkaan
E(G) = 3·0.25 + 9·0.01 − 1·0.74 = 0.1 €
Jawapan
E(G) = 0.1 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.4836
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (169.6 − 178)/7 = −1.2
z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25
Luas antara
P = Φ(0.25) − Φ(−1.2) = 0.5987 − 0.1151 = 0.4836
Jawapan
P = 0.4836
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.025 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.02)/0.025 = −0.8
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = 81.95
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 15, t = 1.753
Margin ralat
E = 1.753·19.5/√16 = 8.546
Selang
90.5 ± 8.546 → [81.95, 99.05]
Jawapan
had bawah = 81.95
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 62
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·10/2.5)² = 61.47
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 62
Jawapan
n = 62
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 2.104
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(18²/40 + 16²/60) = √12.37 = 3.517
Statistik ujian
z = (72 − 64.6)/3.517 = 2.104
Jawapan
z = 2.104
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 31
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.645·5/1.5)² = 30.07
Bundarkan ke atas
n = 31
Jawapan
n = 31
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.977
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 9618 − 135·401/6 = 595.5
Sxx = 3195 − 135²/6 = 157.5
Syy = 29159 − 401²/6 = 2359
Pekali korelasi
r = 595.5/√(157.5·2359) = 0.977
Jawapan
r = 0.977
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 26.36
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 302/6 = 50.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 477
Garis regresi
b = 477/157.5 = 3.029
a = 50.33 − 3.029·23.5 = −20.84
ŷ = −20.84 + 3.029·x
Selesaikan untuk x
x = (59 − (−20.84))/3.029 = 26.36
Jawapan
x = 26.36
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1