Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 27, 24, 21, 40, 22.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 66?

μ = 50σ = 8x = 66

P =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 3 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 3

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 11p = 0.2k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 24.8 dan 44 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 24.8x₂ = 44

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 89.5 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Model 2: 100 telefon, min 93 j, sisihan piawai diketahui 15 j. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 89.5 hσ₁ = 20 hn₂ = 100x̄₂ = 93 hσ₂ = 15 h90%

had bawah = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 26E = 2.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 105.3 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 105.3s = 20n = 64

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 36 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 56 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 56n₂ = 150

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 268Σx² = 165Σy² = 14630Σxy = 1442

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 70) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(3.5, 70)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 6.911

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 161/6 = 26.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.1667² + 0.1667² + (−2.833)² + (−5.833)² + 13.17² + (−4.833)² = 238.8

Sisihan piawai

s = √(238.8/5) = 6.911

Jawapan

s = 6.911

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9772

Piawaikan

z = 2

Jadual normal piawai

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

Jawapan

P = 0.9772

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2

Jawapan

P = 0.2

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1107

Formula binomial

P(X = 4) = 330·0.2⁴·0.8⁷ = 330·0.0016·0.2097 = 0.1107

Jawapan

P = 0.1107

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8622

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (24.8 − 32)/6 = −1.2

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(−1.2) = 0.9772 − 0.1151 = 0.8622

Jawapan

P = 0.8622

6.Taburan normal

Jawapan: x = 466.3 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

Jawapan

x = 466.34 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −9.258 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 89.5 − 93 = −3.5

Ralat piawai

SE = √(20²/40 + 15²/100) = 3.5

Margin ralat

E = 1.645·3.5 = 5.758

Selang

−3.5 ± 5.758 → [−9.258, 2.258]

Jawapan

had bawah = −9.258 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 718

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·26/2.5)² = 717.7

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 718

Jawapan

n = 718

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.12

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

Statistik ujian

t = (105.3 − 100)/2.5 = 2.12

Jawapan

t = 2.12

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.263

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 36/120 = 0.3

p̂₂ = 56/150 = 0.3733

p̂ = 92/270 = 0.3407

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.3407·0.6593·(1/120 + 1/150)) = 0.05805

Statistik ujian

z = (0.3 − 0.3733)/0.05805 = −1.263

Jawapan

z = −1.263

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9903

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1442 − 25·268/5 = 102

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 14630 − 268²/5 = 265.2

Pekali korelasi

r = 102/√(40·265.2) = 0.9903

Jawapan

r = 0.9903

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.25

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 382/5 = 76.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

Garis regresi

b = 71/10 = 7.1

a = 76.4 − 7.1·5 = 40.9

ŷ = 40.9 + 7.1·x

Nilai ramalan

ŷ = 40.9 + 7.1·3.5 = 65.75

Reja

e = 70 − 65.75 = 4.25

Jawapan

e = 4.25

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1