Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 31, 22, 11, 37, 35.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 20. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 72?
μ = 60σ = 20x = 72
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.05, 0.35, 0.35, 0.1
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 6 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 6p = 0.6k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9586. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9586
z =
6.Taburan normalSukar
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 85% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 100 markahσ = 15 markah85%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 30 item mempunyai min 100 dan sisihan piawai s = 2. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 90% untuk min.
n = 30x̄ = 100s = 290%t(29) = 1.699
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 7.9 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.
n = 30s = 7.9 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 30 bahagian mempunyai min panjang 145.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 14 mm. Talian 2: sampel 100 bahagian mempunyai min 139.8 mm, sisihan piawai diketahui 3 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 30x̄₁ = 145.5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 100x̄₂ = 139.8 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 5. Cari saiz sampel terkecil n.
σ = 5E = 0.595%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 4.5.
n = 5x = 4.5
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 10.73
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 136/5 = 27.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 3.8² + (−5.2)² + (−16.2)² + 9.8² + 7.8² = 460.8
Sisihan piawai
s = √(460.8/4) = 10.73
Jawapan
s = 10.73
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7257
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 0.6
Jadual normal piawai
Φ(0.6) = 0.7257
P = 0.7257
Jawapan
P = 0.7257
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.36
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.15 + 1·0.05 + 2·0.35 + 3·0.35 + 4·0.1 = 2.2
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.15 + 1·0.05 + 4·0.35 + 9·0.35 + 16·0.1 = 6.2
Varians
Var(X) = 6.2 − 2.2² = 1.36
Jawapan
Var(X) = 1.36
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.1382
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 15·0.62·0.44 = 15·0.36·0.0256 = 0.1382
Jawapan
P = 0.1382
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.04
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.9586)/2 = 0.9793
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9793 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.04
Jawapan
z = 2.04
6.Taburan normal
Jawapan: x = 115.6 markah
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.85
z daripada jadual
z ≈ 1.04
Kembali kepada unit asal
x = 100 + 1.04·15 = 115.6 markah
Jawapan
x = 115.6 markah
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 100.6
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 29, t = 1.699
Margin ralat
E = 1.699·2/√30 = 0.6204
Selang
100 ± 0.6204 → [99.38, 100.6]
Jawapan
had atas = 100.6
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 10.62 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 29·7.9² = 1810
Had bagi σ²
1810/45.722 = 39.58
1810/16.047 = 112.8
Had bagi σ
σ = √112.8 = 10.62 µm
Jawapan
σ = 10.62 µm
Selang 95% bagi σ: [6.292, 10.62] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 2.215
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(14²/30 + 3²/100) = √6.623 = 2.574
Statistik ujian
z = (145.5 − 139.8)/2.574 = 2.215
Jawapan
z = 2.215
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 385
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Selesaikan untuk n
n = (1.96·5/0.5)² = 384.2
Bundarkan ke atas
n = 385
Jawapan
n = 385
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9716
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 80/6 = 13.33
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −49
Syy = Σ(y − ȳ)² = 145.3
Pekali korelasi
r = −49/√(17.5·145.3) = −0.9716
Jawapan
r = −0.9716
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 77.4
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 336/5 = 67.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 68
Garis regresi
b = 68/10 = 6.8
a = 67.2 − 6.8·3 = 46.8
ŷ = 46.8 + 6.8·x
Ramalan
ŷ = 46.8 + 6.8·4.5 = 77.4
Jawapan
ŷ = 77.4
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1