Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 13, 36, 28, 38, 54.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 40.

μ = 70σ = 15x = 40

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.2, 0.1, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

5 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 5p = 0.25

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 171 dan 190.6 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 171x₂ = 190.6

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 5% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 500 hσ = 40 h5%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 15 item mempunyai min 95.5 dan sisihan piawai s = 11.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min.

n = 15x̄ = 95.5s = 11.599%t(14) = 2.977

E =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 11 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 3.5 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 10, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 3.247 dan 2.5% terletak di atas 20.483.

n = 11s = 3.5 µmχ² = 3.247, 20.483

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

10 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 8.3 dan sisihan piawai beza ialah 7.5. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 8.3s_d = 7.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ < 200 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 193.75. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 200μ = 193.75σ = 20n = 64α = 0.10

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.97

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 169/5 = 33.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−20.8)² + 2.2² + (−5.8)² + 4.2² + 20.2² = 896.8

Sisihan piawai

s = √(896.8/4) = 14.97

Jawapan

s = 14.97

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (40 − 70)/15 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.648

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.2 + 2·0.1 + 3·0.35 = 1.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.2 + 4·0.1 + 9·0.35 = 3.75

Varians

Var(X) = 3.75 − 1.45² = 1.648

Jawapan

Var(X) = 1.648

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.6328

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.75⁵ = 0.2373

P(X = 1) = 5·0.25·0.75⁴ = 0.3955

Tambahkannya

P = 0.2373 + 0.3955 = 0.6328

Jawapan

P = 0.6328

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8054

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (171 − 178)/7 = −1

z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8

Luas antara

P = Φ(1.8) − Φ(−1) = 0.9641 − 0.1587 = 0.8054

Jawapan

P = 0.8054

6.Taburan normal

Jawapan: x = 434 h

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

Jawapan

x = 434 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 8.84

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 14, t = 2.977

Margin ralat

E = 2.977·11.5/√15 = 8.84

Jawapan

E = 8.84

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 2.446 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 10·3.5² = 122.5

Had bagi σ²

122.5/20.483 = 5.981

122.5/3.247 = 37.73

Had bagi σ

σ = √5.981 = 2.446 µm

Jawapan

σ = 2.446 µm

Selang 95% bagi σ: [2.446, 6.142] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 3.5

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 7.5/√10 = 2.372

Statistik ujian

t = 8.3/2.372 = 3.5

Jawapan

t = 3.5

Dengan df = 9, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.262; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 88.84 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 20/√64 = 2.5

x̄_c = 200 − 1.282·2.5 = 196.8

z di bawah min sebenar

z = (196.8 − 193.75)/2.5 = 1.218

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.218) = 88.84%

1 − β = 88.84%

Jawapan

1 − β = 88.84%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9875

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 767/6 = 127.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 409

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2451

Pekali korelasi

r = 409/√(70·2451) = 0.9875

Jawapan

r = 0.9875

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.94

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 297/5 = 59.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

Garis regresi

b = 166/40 = 4.15

a = 59.4 − 4.15·6 = 34.5

ŷ = 34.5 + 4.15·x

Selesaikan untuk x

x = (55 − 34.5)/4.15 = 4.94

Jawapan

x = 4.94

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1