Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 22, 55, 21, 57.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 67.5?
μ = 70σ = 5x = 67.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Satu dadu adil digolek 3 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?
n = 3
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.25, 0.35, 0.1Y = 5X − 3
σY =
5.Taburan normalSederhana
skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 95.5 dan 115.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 100σ = 15x1 = 95.5x2 = 115.75
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 10 item mempunyai min 33.5 dan sisihan piawai s = 5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.
n = 10x̄ = 33.5s = 595%t(9) = 2.262
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 7 petak, min hasil 83.5 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Kumpulan petak 2: 10 petak, min 87.5 kg, sisihan piawai 3 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 83.5s₁ = 9.5n₂ = 10x̄₂ = 87.5s₂ = 395%t(15) = 2.131
E = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 52.58 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52.58s = 8n = 81
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 84.4. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 84.4σ = 10n = 25α = 0.05
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 11.
n = 6x = 11
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 17.27
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 194/5 = 38.8
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 0.2² + (−16.8)² + 16.2² + (−17.8)² + 18.2² = 1193
Sisihan piawai
s = √(1193/4) = 17.27
Jawapan
s = 17.27
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.3085
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.5
Jadual normal piawai
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085
Jawapan
P = 0.3085
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.4213
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pelengkap
P(tiada enam) = (5/6)3 = 0.5787
P = 1 − 0.5787 = 0.4213
Jawapan
P = 0.4213
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 9.937
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.5, Var(X) = 3.95, σX = 1.987
Perubahan linear
σY = |5|·1.987 = 9.937
Jawapan
σY = 9.937
Min memang berubah: E(Y) = 5·2.5 − 3 = 9.5.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.4711
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (95.5 − 100)/15 = −0.3
z₂ = (115.75 − 100)/15 = 1.05
Luas antara
P = Φ(1.05) − Φ(−0.3) = 0.8531 − 0.3821 = 0.4711
Jawapan
P = 0.4711
6.Taburan normal
Jawapan: x = 173.3 cm
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
Kembali kepada x
x = 178 + −0.6745·7 = 173.28 cm
Jawapan
x = 173.28 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 37.08
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 9, t = 2.262
Margin ralat
E = 2.262·5/√10 = 3.577
Selang
33.5 ± 3.577 → [29.92, 37.08]
Jawapan
had atas = 37.08
8.Selang keyakinan
Jawapan: E = 6.765 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (6·9.5² + 9·3²)/15 = 41.5
sp = 6.442
Margin ralat
E = 2.131·6.442·√(1/7 + 1/10) = 6.765
Jawapan
E = 6.765 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 2.902
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889
Statistik ujian
t = (52.58 − 50)/0.8889 = 2.902
Jawapan
t = 2.902
t0.025; df = 80 = 1.99
|t| > 1.99, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 71.06 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 10/√25 = 2
x̄c = 80 + 1.645·2 = 83.29
z di bawah min sebenar
z = (83.29 − 84.4)/2 = −0.555
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.555) = 71.06%
1 − β = 71.06%
Jawapan
1 − β = 71.06%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.8521
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 91/5 = 18.2
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −22
Syy = Σ(y − ȳ)² = 56.8
Pekali penentuan
r² = −22²/(10·56.8) = 0.8521
Jawapan
r² = 0.8521
Kira-kira 85.21% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 54.11
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 253/6 = 42.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 209
Garis regresi
b = 209/70 = 2.986
a = 42.17 − 2.986·7 = 21.27
ŷ = 21.27 + 2.986·x
Ramalan
ŷ = 21.27 + 2.986·11 = 54.11
Jawapan
ŷ = 54.11
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1