Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
20253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 51, 41, 54, 18, 38, 32.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 62?

μ = 50σ = 12x = 62
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 3biru: 7

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 7 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 7
P =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−20.8340.15980.02

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €6 dengan kebarangkalian 0.15 dan €100 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€6: p = 0.15€100: p = 0.02
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
750 g745.1 gX + Y?

X normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 4 g; Y tak bersandar dan normal dengan min 500 g dan sisihan piawai 9 g. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 745.1 g. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 745.1 g
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 65x = ?10%

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 65σ = 10P = 10%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 10, sd​ = 7.30L = ?Ud̄ = −6.4E90%

Tekanan darah 10 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −6.4 dan sisihan piawai 7.3. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 10d̄ = −6.4sd = 7.390%t(9) = 1.833
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
n = 21Lσ = ?s = 4.795%

Diameter 21 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 4.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 20, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 9.591 dan 2.5% terletak di atas 34.17.

n = 21s = 4.7 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.99801.998

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 496.5 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496.5s = 20n = 64
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 47.2. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 47.2σ = 10n = 8195%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy135341559771979xy5406080

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 285Σx² = 165Σy² = 17669Σxy = 1661
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy244116118151018xy51051015x = 9

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.

n = 5x = 9
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.15

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 234/6 = 39

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 12² + 2² + 15² + (−21)² + (−1)² + (−7)² = 864

Sisihan piawai

s = √(864/5) = 13.15

Jawapan

s = 13.15
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.8413

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = 1

Jadual normal piawai

Φ(1) = 0.8413
P = 0.8413

Jawapan

P = 0.8413
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.06667

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/10 · 2/9 = 6/90 = 0.06667

Jawapan

P = 0.06667
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.9 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 4 (p = 0.15), 98 (p = 0.02), −2 (p = 0.83)

Nilai jangkaan

E(G) = 4·0.15 + 98·0.02 − 2·0.83 = 0.9 €

Jawapan

E(G) = 0.9 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6915

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan hasil tambah

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

Piawaikan

z = (745.1 − 750)/9.849 = −0.5

Ekor atas

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

Jawapan

P = 0.6915
6.Taburan normal

Jawapan: x = 52.18 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 markah

Jawapan

x = 52.18 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −10.63 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 9, t = 1.833

Margin ralat

E = 1.833·7.3/√10 = 4.231

Selang

−6.4 ± 4.231 → [−10.63, −2.169]

Jawapan

had bawah = −10.63 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 6.787 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 20·4.7² = 441.8

Had bagi σ²

441.8/34.17 = 12.93
441.8/9.591 = 46.06

Had bagi σ

σ = √46.06 = 6.787 µm

Jawapan

σ = 6.787 µm

Selang 95% bagi σ: [3.596, 6.787] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√64 = 20/8 = 2.5

Statistik ujian

t = (496.5 − 500)/2.5 = −1.4

Jawapan

t = −1.4
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| < 1.998, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 45.02

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·10/√81 = 2.178

Had selang

L = 47.2 − 2.178 = 45.02

Jawapan

L = 45.02
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9888

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 1661 − 25·285/5 = 236
Sxx = 165 − 25²/5 = 40
Syy = 17669 − 285²/5 = 1424

Pekali korelasi

r = 236/√(40·1424) = 0.9888

Jawapan

r = 0.9888
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 16.6

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 59/5 = 11.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Garis regresi

b = 64/40 = 1.6
a = 11.8 − 1.6·6 = 2.2
ŷ = 2.2 + 1.6·x

Ramalan

ŷ = 2.2 + 1.6·9 = 16.6

Jawapan

ŷ = 16.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1