Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 17, 17, 34, 60, 28, 35.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 97.5?
μ = 100σ = 5x = 97.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.1, 0.3, 0.35, 0.25
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?
n = 11p = 0.7k = 4
P =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 60 s dan sisihan piawai 5 s; Y tak bersandar dan normal dengan min 45 s dan sisihan piawai 4 s. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 101.8 s. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 101.8 s
P =
6.Taburan normalSukar
Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 112.5 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Model 2: 50 telefon, min 123 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 80x̄₁ = 112.5 hσ₁ = 3 hn₂ = 50x̄₂ = 123 hσ₂ = 12 h90%
E = h
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 22. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?
σ = 22E = 0.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 73.56 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.
μ₀ = 75x̄ = 73.56s = 4n = 25
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 3 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 11. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.01kuasa = 95%δ = 3σ = 11zα = 2.326zβ = 1.645
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 146Σx² = 364Σy² = 4376Σxy = 1260
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 143?
n = 6ŷ = 143
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.89
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 191/6 = 31.83
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−14.83)² + (−14.83)² + 2.167² + 28.17² + (−3.833)² + 3.167² = 1263
Sisihan piawai
s = √(1263/5) = 15.89
Jawapan
s = 15.89
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.6915
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.5
Jadual normal piawai
Φ(−0.5) = 0.3085
P = 1 − 0.3085 = 0.6915
Jawapan
P = 0.6915
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 9.421
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 10·0.1 + 20·0.3 + 30·0.35 + 40·0.25 = 27.5
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 100·0.1 + 400·0.3 + 900·0.35 + 1600·0.25 = 845
Varians
Var(X) = 845 − 27.5² = 88.75
σ = √88.75 = 9.421
Jawapan
σ = 9.421
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.01733
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 4) = 330·0.74·0.37 = 330·0.2401·0.0002187 = 0.01733
Jawapan
P = 0.01733
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6915
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s
Piawaikan
z = (101.8 − 105)/6.403 = −0.5
Ekor atas
P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915
Jawapan
P = 0.6915
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8849
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm
Piawaikan
z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849
Jawapan
P = 0.8849
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 2.846 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 112.5 − 123 = −10.5
Ralat piawai
SE = √(3²/80 + 12²/50) = 1.73
Margin ralat
E = 1.645·1.73 = 2.846
Jawapan
E = 2.846 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 7438
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·22/0.5)² = 7437
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 7438
Jawapan
n = 7438
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.8
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8
Statistik ujian
t = (73.56 − 75)/0.8 = −1.8
Jawapan
t = −1.8
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 213
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2.326 + 1.645)·11/3)² = 212
Bundarkan ke atas
n = 213
Jawapan
n = 213
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9914
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1260 − 42·146/6 = 238
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 4376 − 146²/6 = 823.3
Pekali korelasi
r = 238/√(70·823.3) = 0.9914
Jawapan
r = 0.9914
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 27.05
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 742/6 = 123.7
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 334
Garis regresi
b = 334/70 = 4.771
a = 123.7 − 4.771·23 = 13.92
ŷ = 13.92 + 4.771·x
Selesaikan untuk x
x = (143 − 13.92)/4.771 = 27.05
Jawapan
x = 27.05
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1