Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 20, 29, 11, 26, 16, 58, 12.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 75. Cari skor-z z bagi skor 440.

μ = 500σ = 75x = 440

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 9? Susunan tidak penting.

n = 9k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 5p = 0.3k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 53.5 dan 77.5 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 53.5x₂ = 77.5

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.04 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 13 item mempunyai min 38 dan sisihan piawai s = 16.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 13x̄ = 38s = 16.599%t(12) = 3.055

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 31. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 31E = 399%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 100 bahagian mempunyai min panjang 66 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 15 mm. Talian 2: sampel 40 bahagian mempunyai min 69.4 mm, sisihan piawai diketahui 6 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 100x̄₁ = 66 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 40x̄₂ = 69.4 mmσ₂ = 6 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 10. Pada hakikatnya min ialah 77.7. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 77.7σ = 10n = 100α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (17, 59) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(17, 59)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.21

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 172/7 = 24.57

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−4.571)² + 4.429² + (−13.57)² + 1.429² + (−8.571)² + 33.43² + (−12.57)² = 1576

Sisihan piawai

s = √(1576/6) = 16.21

Jawapan

s = 16.21

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Piawaikan

z = (440 − 500)/75 = −0.8

Jawapan

z = −0.8

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 126

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Jawapan

N = 126

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3087

Formula binomial

P(X = 2) = 10·0.3²·0.7³ = 10·0.09·0.343 = 0.3087

Jawapan

P = 0.3087

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7693

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (53.5 − 65)/10 = −1.15

z₂ = (77.5 − 65)/10 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−1.15) = 0.8944 − 0.1251 = 0.7693

Jawapan

P = 0.7693

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9868

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

Jawapan

P = 0.9868

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 51.98

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 3.055

Margin ralat

E = 3.055·16.5/√13 = 13.98

Selang

38 ± 13.98 → [24.02, 51.98]

Jawapan

had atas = 51.98

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 709

Selesaikan untuk n

n = (2.576·31/3)² = 708.6

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 709

Jawapan

n = 709

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.916

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(15²/100 + 6²/40) = √3.15 = 1.775

Statistik ujian

z = (66 − 69.4)/1.775 = −1.916

Jawapan

z = −1.916

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 74.38 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 10/√100 = 1

x̄_c = 80 − 1.645·1 = 78.36

z di bawah min sebenar

z = (78.36 − 77.7)/1 = 0.655

Kuasa

kuasa = P(Z < 0.655) = 74.38%

1 − β = 74.38%

Jawapan

1 − β = 74.38%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.999

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 170

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 723.2

Pekali penentuan

r² = 170²/(40·723.2) = 0.999

Jawapan

r² = 0.999

Kira-kira 99.9% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.281

Min

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 433/6 = 72.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 311

Garis regresi

b = 311/70 = 4.443

a = 72.17 − 4.443·19 = −12.25

ŷ = −12.25 + 4.443·x

Nilai ramalan

ŷ = −12.25 + 4.443·17 = 63.28

Reja

e = 59 − 63.28 = −4.281

Jawapan

e = −4.281

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1