Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 34, 45, 53, 53, 49, 54, 48.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Cari skor-z z bagi skor 575.

μ = 500σ = 60x = 575

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 9 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 9p = 0.5k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 164 dan 188.85 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 188.85

P =

6.Taburan normalSukar

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 80 telefon, min 148.5 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Model 2: 60 telefon, min 154 j, sisihan piawai diketahui 3 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 148.5 hσ₁ = 8 hn₂ = 60x̄₂ = 154 hσ₂ = 3 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 7. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 7E = 290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

16 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 3.78 dan sisihan piawai beza ialah 7.2. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 3.78s_d = 7.2

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 150 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 80 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 80n₂ = 120

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (8, 84) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(8, 84)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 6.976

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 336/7 = 48

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−14)² + (−3)² + 5² + 5² + 1² + 6² + 0² = 292

Sisihan piawai

s = √(292/6) = 6.976

Jawapan

s = 6.976

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (575 − 500)/60 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 0.7

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

Varians

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7

Jawapan

Var(X) = 0.7

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2461

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 4) = 126·0.5⁴·0.5⁵ = 126·0.0625·0.03125 = 0.2461

Jawapan

P = 0.2461

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9167

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (188.85 − 178)/7 = 1.55

Luas antara

P = Φ(1.55) − Φ(−2) = 0.9394 − 0.02275 = 0.9167

Jawapan

P = 0.9167

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = −3.59 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 148.5 − 154 = −5.5

Ralat piawai

SE = √(8²/80 + 3²/60) = 0.9747

Margin ralat

E = 1.96·0.9747 = 1.91

Selang

−5.5 ± 1.91 → [−7.41, −3.59]

Jawapan

had atas = −3.59 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 34

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·7/2)² = 33.15

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 34

Jawapan

n = 34

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.1

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 7.2/√16 = 1.8

Statistik ujian

t = 3.78/1.8 = 2.1

Jawapan

t = 2.1

Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.238

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 150/250 = 0.6

p̂₂ = 80/120 = 0.6667

p̂ = 230/370 = 0.6216

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.6216·0.3784·(1/250 + 1/120)) = 0.05386

Statistik ujian

z = (0.6 − 0.6667)/0.05386 = −1.238

Jawapan

z = −1.238

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9718

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 383/5 = 76.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 282

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 909.2

Pekali penentuan

r² = 282²/(90·909.2) = 0.9718

Jawapan

r² = 0.9718

Kira-kira 97.18% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −3.65

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 346/5 = 69.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 246

Garis regresi

b = 246/40 = 6.15

a = 69.2 − 6.15·5 = 38.45

ŷ = 38.45 + 6.15·x

Nilai ramalan

ŷ = 38.45 + 6.15·8 = 87.65

Reja

e = 84 − 87.65 = −3.65

Jawapan

e = −3.65

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1