Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 31, 28, 48, 46, 39.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 47.5.

μ = 50σ = 5x = 47.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €2 untuk dimain. Anda menang €8 dengan kebarangkalian 0.1 dan €100 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €2€8: p = 0.1€100: p = 0.01

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 45.5 dan 83 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 65σ = 10x₁ = 45.5x₂ = 83

P =

6.Taburan normalSukar

skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Seret titik pemotong supaya 95% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 65 markahσ = 10 markah95%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 87.5 j, sisihan piawai diketahui 10 j. Model 2: 100 telefon, min 76.5 j, sisihan piawai diketahui 8 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 87.5 hσ₁ = 10 hn₂ = 100x̄₂ = 76.5 hσ₂ = 8 h90%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 4?

σ = 26E = 495%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 51.68 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51.68s = 4n = 25

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 199.7. Sisihan piawai populasi ialah 12. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 199.7σ = 12n = 4990%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 1.5.

n = 5x = 1.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.09

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 208/6 = 34.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−18.67)² + (−3.667)² + (−6.667)² + 13.33² + 11.33² + 4.333² = 731.3

Sisihan piawai

s = √(731.3/5) = 12.09

Jawapan

s = 12.09

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (47.5 − 50)/5 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 2.567

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 2·0.1 + 4·0.2 + 6·0.35 = 3.1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 4·0.1 + 16·0.2 + 36·0.35 = 16.2

Varians

Var(X) = 16.2 − 3.1² = 6.59

σ = √6.59 = 2.567

Jawapan

σ = 2.567

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.2 €

Hasil bersih

G: 6 (p = 0.1), 98 (p = 0.01), −2 (p = 0.89)

Nilai jangkaan

E(G) = 6·0.1 + 98·0.01 − 2·0.89 = −0.2 €

Jawapan

E(G) = −0.2 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9385

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (45.5 − 65)/10 = −1.95

z₂ = (83 − 65)/10 = 1.8

Luas antara

P = Φ(1.8) − Φ(−1.95) = 0.9641 − 0.02559 = 0.9385

Jawapan

P = 0.9385

6.Taburan normal

Jawapan: x = 48.6 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.05

z daripada jadual

z ≈ −1.64

Kembali kepada unit asal

x = 65 − 1.64·10 = 48.6 markah

Jawapan

x = 48.6 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 2.673 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 87.5 − 76.5 = 11

Ralat piawai

SE = √(10²/50 + 8²/100) = 1.625

Margin ralat

E = 1.645·1.625 = 2.673

Jawapan

E = 2.673 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 163

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·26/4)² = 162.3

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 163

Jawapan

n = 163

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√25 = 4/5 = 0.8

Statistik ujian

t = (51.68 − 50)/0.8 = 2.1

Jawapan

t = 2.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 196.9

Margin ralat

E = 1.645·12/√49 = 2.82

Had selang

L = 199.7 − 2.82 = 196.9

Jawapan

L = 196.9

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9876

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 327/5 = 65.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 65

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 433.2

Pekali korelasi

r = 65/√(10·433.2) = 0.9876

Jawapan

r = 0.9876

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 24.6

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −16

Garis regresi

b = −16/10 = −1.6

a = 22.2 − (−1.6)·3 = 27

ŷ = 27 − 1.6·x

Ramalan

ŷ = 27 + (−1.6)·1.5 = 24.6

Jawapan

ŷ = 24.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1