Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
15202530354045

Cari sisihan piawai sampel s data: 25, 45, 11, 27, 46.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 462.5?

μ = 500σ = 25x = 462.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
merah: 5biru: 9

Sebuah beg mengandungi 5 bebola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

5 / 9
P =
4.KebarangkalianSukar
n = 7, p = 0.2: P(X = 3) = ?k01234567

Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 3 jawapan betul?

n = 7p = 0.2k = 3
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.8385

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.8385. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8385
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 500x = ?20%

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 500σ = 40P = 20%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
n = 6, s = 5.5L = ?Ux̄ = 13.5E99%

Satu sampel 6 item mempunyai min 13.5 dan sisihan piawai s = 5.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 6x̄ = 13.5s = 5.599%t(5) = 4.032
had bawah =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 11, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Sisihan piawai populasi ialah 11. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 11E = 190%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.01102.011

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 49.49 dan sisihan piawai sampel 4. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 49.49s = 4n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.64501.645

Satu sampel 49 ukuran mempunyai min 198. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 198σ = 10n = 4990%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy26547167789510101xy51080100

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 30Σy = 409Σx² = 220Σy² = 34421Σxy = 2646
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy2534666838891010812120xy51050100x = 11

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (11, 110) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(11, 110)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.77

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 154/5 = 30.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−5.8)² + 14.2² + (−19.8)² + (−3.8)² + 15.2² = 872.8

Sisihan piawai

s = √(872.8/4) = 14.77

Jawapan

s = 14.77
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9332

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −1.5

Jadual normal piawai

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1099

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 5/14 · 4/13 = 20/182 = 0.1099

Jawapan

P = 0.1099
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1147

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 3) = 35·0.23·0.84 = 35·0.008·0.4096 = 0.1147

Jawapan

P = 0.1147
5.Taburan normal

Jawapan: z = 1.4

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.8385)/2 = 0.9192

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.9192 di dalam jadual dan baca z.

z = 1.40

Jawapan

z = 1.40
6.Taburan normal

Jawapan: x = 466.3 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

Jawapan

x = 466.34 h
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 4.447

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 5, t = 4.032

Margin ralat

E = 4.032·5.5/√6 = 9.053

Selang

13.5 ± 9.053 → [4.447, 22.55]

Jawapan

had bawah = 4.447
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 328

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.645·11/1)² = 327.4

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 328

Jawapan

n = 328
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −0.8925

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 4/√49 = 4/7 = 0.5714

Statistik ujian

t = (49.49 − 50)/0.5714 = −0.8925

Jawapan

t = −0.8925
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 200.3

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·10/√49 = 2.35

Had selang

U = 198 + 2.35 = 200.3

Jawapan

U = 200.3
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9774

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 2646 − 30·409/5 = 192
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 34421 − 409²/5 = 964.8

Pekali korelasi

r = 192/√(40·964.8) = 0.9774

Jawapan

r = 0.9774
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −3.186

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 519/6 = 86.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 467

Garis regresi

b = 467/70 = 6.671
a = 86.5 − 6.671·7 = 39.8
ŷ = 39.8 + 6.671·x

Nilai ramalan

ŷ = 39.8 + 6.671·11 = 113.2

Reja

e = 110 − 113.2 = −3.186

Jawapan

e = −3.186

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1