Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 44, 36, 50, 15, 18.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 50.

μ = 70σ = 10x = 50

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 11? Susunan tidak penting.

n = 11k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

6 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 6p = 0.3

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 9 daripadanya melebihi 225.8 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 9> 225.8 kg

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 60% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g60%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 97 j, sisihan piawai diketahui 9 j. Model 2: 60 telefon, min 103 j, sisihan piawai diketahui 20 j. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 97 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 103 hσ₂ = 20 h95%

E = h

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 93.5 kg, sisihan piawai 9 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 85.5 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 93.5s₁ = 9n₂ = 8x̄₂ = 85.5s₂ = 9.590%t(12) = 1.782

had atas = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 54.5 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54.5s = 15n = 64

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 120.1. Sisihan piawai populasi ialah 4. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 120.1σ = 4n = 3699%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (7, 7) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(7, 7)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 163/5 = 32.6

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 11.4² + 3.4² + 17.4² + (−17.6)² + (−14.6)² = 967.2

Sisihan piawai

s = √(967.2/4) = 15.55

Jawapan

s = 15.55

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (50 − 70)/10 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 330

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Jawapan

N = 330

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4202

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.7⁶ = 0.1176

P(X = 1) = 6·0.3·0.7⁵ = 0.3025

Tambahkannya

P = 0.1176 + 0.3025 = 0.4202

Jawapan

P = 0.4202

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.2981

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 225 kg, σ_T = 0.5·√9 = 1.5 kg

Piawaikan

z = (225.8 − 225)/1.5 = 0.53

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(0.53) = 0.2981

Jawapan

P = 0.2981

6.Taburan normal

Jawapan: x = 248.8 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.4

z daripada jadual

z ≈ −0.25

Kembali kepada unit asal

x = 250 − 0.25·5 = 248.8 g

Jawapan

x = 248.8 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.778 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 97 − 103 = −6

Ralat piawai

SE = √(9²/40 + 20²/60) = 2.948

Margin ralat

E = 1.96·2.948 = 5.778

Jawapan

E = 5.778 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 16.95 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (5·9² + 7·9.5²)/12 = 86.4

s_p = 9.295

Margin ralat

E = 1.782·9.295·√(1/6 + 1/8) = 8.945

Selang

8 ± 8.945 → [−0.9454, 16.95]

Jawapan

had atas = 16.95 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

Statistik ujian

t = (54.5 − 50)/1.875 = 2.4

Jawapan

t = 2.4

t_{0.025; df = 63} = 1.998

|t| > 1.998, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 121.8

Margin ralat

E = 2.576·4/√36 = 1.717

Had selang

U = 120.1 + 1.717 = 121.8

Jawapan

U = 121.8

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9947

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 534/6 = 89

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 400

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 2310

Pekali korelasi

r = 400/√(70·2310) = 0.9947

Jawapan

r = 0.9947

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.833

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 71/6 = 11.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 101

Garis regresi

b = 101/70 = 1.443

a = 11.83 − 1.443·7 = 1.733

ŷ = 1.733 + 1.443·x

Nilai ramalan

ŷ = 1.733 + 1.443·7 = 11.83

Reja

e = 7 − 11.83 = −4.833

Jawapan

e = −4.833

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1