Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 17, 55, 36, 41, 29, 18.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 85?

μ = 70σ = 10x = 85

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 5 jawapan betul?

n = 11p = 0.25k = 5

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 250.25 dan 252.75 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 250.25x₂ = 252.75

P =

6.Taburan normalSukar

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 90% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 10 item mempunyai min 118.5 dan sisihan piawai s = 17. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 10x̄ = 118.5s = 1799%t(9) = 3.25

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 36. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 36E = 2.590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 8 pelajar, skor min 33.5, sisihan piawai 10. Kumpulan 2: 14 pelajar, skor min 43, sisihan piawai 6. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 8x̄₁ = 33.5s₁ = 10n₂ = 14x̄₂ = 43s₂ = 6

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 16 daripada 80 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 20 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 16n₁ = 80x₂ = 20n₂ = 120

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 7.

n = 5x = 7

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.51

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 196/6 = 32.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−15.67)² + 22.33² + 3.333² + 8.333² + (−3.667)² + (−14.67)² = 1053

Sisihan piawai

s = √(1053/5) = 14.51

Jawapan

s = 14.51

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.9332

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0803

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 5) = 462·0.25⁵·0.75⁶ = 462·0.0009766·0.178 = 0.0803

Jawapan

P = 0.0803

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1889

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05

z₂ = (252.75 − 250)/5 = 0.55

Luas antara

P = Φ(0.55) − Φ(0.05) = 0.7088 − 0.5199 = 0.1889

Jawapan

P = 0.1889

6.Taburan normal

Jawapan: x = 256.4 g

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.9

z daripada jadual

z ≈ 1.28

Kembali kepada unit asal

x = 250 + 1.28·5 = 256.4 g

Jawapan

x = 256.4 g

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 101

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 9, t = 3.25

Margin ralat

E = 3.25·17/√10 = 17.47

Selang

118.5 ± 17.47 → [101, 136]

Jawapan

had bawah = 101

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 562

Selesaikan untuk n

n = (1.645·36/2.5)² = 561.1

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 562

Jawapan

n = 562

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.805

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (7·10² + 13·6²)/20 = 58.4

s_p = 7.642

Ralat piawai

SE = 7.642·√(1/8 + 1/14) = 3.387

Statistik ujian

t = (33.5 − 43)/3.387 = −2.805

Jawapan

t = −2.805

Dengan df = 20, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.086; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 0.6011

Perkadaran sampel

p̂₁ = 16/80 = 0.2

p̂₂ = 20/120 = 0.1667

p̂ = 36/200 = 0.18

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.18·0.82·(1/80 + 1/120)) = 0.05545

Statistik ujian

z = (0.2 − 0.1667)/0.05545 = 0.6011

Jawapan

z = 0.6011

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9449

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 227/6 = 37.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 173

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 478.8

Pekali korelasi

r = 173/√(70·478.8) = 0.9449

Jawapan

r = 0.9449

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 50.2

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 241/5 = 48.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Garis regresi

b = 80/40 = 2

a = 48.2 − 2·6 = 36.2

ŷ = 36.2 + 2·x

Ramalan

ŷ = 36.2 + 2·7 = 50.2

Jawapan

ŷ = 50.2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1