Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 60, 37, 51, 59, 34, 25.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 85.6.
μ = 100σ = 12x = 85.6
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.25, 0.25, 0.2, 0.15, 0.15
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?
n = 5p = 0.7k = 4
P =
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9660. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9660
z =
6.Taburan normalSukar
berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Seret titik pemotong supaya 80% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 250 gσ = 5 g80%
x = g
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 30 item mempunyai min 110.5 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.
n = 30x̄ = 110.5s = 3.595%t(29) = 2.045
E =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 10. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?
σ = 10E = 399%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 6 pelajar, skor min 36, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 6 pelajar, skor min 34.2, sisihan piawai 2. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 6x̄₁ = 36s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 34.2s₂ = 2
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Dalam satu percubaan, 36 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 55 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 36n₁ = 120x₂ = 55n₂ = 250
z =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 17.5.
n = 6x = 17.5
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 14.42
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 266/6 = 44.33
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 15.67² + (−7.333)² + 6.667² + 14.67² + (−10.33)² + (−19.33)² = 1039
Sisihan piawai
s = √(1039/5) = 14.42
Jawapan
s = 14.42
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (85.6 − 100)/12 = −1.2
Jawapan
z = −1.2
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.91
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.25 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.15 + 5·0.15 = 2.7
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.15 + 25·0.15 = 9.2
Varians
Var(X) = 9.2 − 2.7² = 1.91
Jawapan
Var(X) = 1.91
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.3601
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 4) = 5·0.74·0.31 = 5·0.2401·0.3 = 0.3601
Jawapan
P = 0.3601
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.12
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.9660)/2 = 0.9830
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9830 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.12
Jawapan
z = 2.12
6.Taburan normal
Jawapan: x = 254.2 g
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.8
z daripada jadual
z ≈ 0.84
Kembali kepada unit asal
x = 250 + 0.84·5 = 254.2 g
Jawapan
x = 254.2 g
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 1.307
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 29, t = 2.045
Margin ralat
E = 2.045·3.5/√30 = 1.307
Jawapan
E = 1.307
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 74
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·10/3)² = 73.73
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 74
Jawapan
n = 74
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.559
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (5·2² + 5·2²)/10 = 4
sp = 2
Ralat piawai
SE = 2·√(1/6 + 1/6) = 1.155
Statistik ujian
t = (36 − 34.2)/1.155 = 1.559
Jawapan
t = 1.559
Dengan df = 10, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.228; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = 1.673
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Perkadaran sampel
p̂₁ = 36/120 = 0.3
p̂₂ = 55/250 = 0.22
p̂ = 91/370 = 0.2459
Ralat piawai di bawah H₀
SE = √(0.2459·0.7541·(1/120 + 1/250)) = 0.04783
Statistik ujian
z = (0.3 − 0.22)/0.04783 = 1.673
Jawapan
z = 1.673
|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9844
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 383/6 = 63.83
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 295
Syy = Σ(y − ȳ)² = 1283
Pekali korelasi
r = 295/√(70·1283) = 0.9844
Jawapan
r = 0.9844
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 86.38
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 141/6 = 23.5
ȳ = 700/6 = 116.7
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 795
Garis regresi
b = 795/157.5 = 5.048
a = 116.7 − 5.048·23.5 = −1.952
ŷ = −1.952 + 5.048·x
Ramalan
ŷ = −1.952 + 5.048·17.5 = 86.38
Jawapan
ŷ = 86.38
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1