Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 13, 30, 23, 33, 44, 35.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 165.

μ = 170σ = 10x = 165

z =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 3 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 3

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 0.5X + 20. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.25, 0.2, 0.35Y = 0.5X + 20

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 6 daripadanya melebihi 75.9 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6> 75.9 kg

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 80% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah80%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 13 item mempunyai min 12 dan sisihan piawai s = 10. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 13x̄ = 12s = 1095%t(12) = 2.179

E =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 8. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 8E = 0.599%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 7 pelajar, skor min 80, sisihan piawai 6. Kumpulan 2: 7 pelajar, skor min 96.2, sisihan piawai 11.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 7x̄₁ = 80s₁ = 6n₂ = 7x̄₂ = 96.2s₂ = 11.5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 4 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 12. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 80%δ = 4σ = 12z_α = 1.645z_β = 0.842

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 127Σx² = 55Σy² = 3255Σxy = 368

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 10.65

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 178/6 = 29.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.67)² + 0.3333² + (−6.667)² + 3.333² + 14.33² + 5.333² = 567.3

Sisihan piawai

s = √(567.3/5) = 10.65

Jawapan

s = 10.65

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (165 − 170)/10 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.4213

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

Jawapan

P = 0.4213

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 0.5723

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.7, Var(X) = 1.31, σ_X = 1.145

Perubahan linear

σ_Y = |0.5|·1.145 = 0.5723

Jawapan

σ_Y = 0.5723

Min memang berubah: E(Y) = 0.5·1.7 + 20 = 20.85.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.0233

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 72 kg, σ_T = 0.8·√6 = 1.96 kg

Piawaikan

z = (75.9 − 72)/1.96 = 1.99

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(1.99) = 0.0233

Jawapan

P = 0.0233

6.Taburan normal

Jawapan: x = 112.6 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.8

z daripada jadual

z ≈ 0.84

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 markah

Jawapan

x = 112.6 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 6.043

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 2.179

Margin ralat

E = 2.179·10/√13 = 6.043

Jawapan

E = 6.043

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1699

Selesaikan untuk n

n = (2.576·8/0.5)² = 1699

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 1699

Jawapan

n = 1699

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.304

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (6·6² + 6·11.5²)/12 = 84.13

s_p = 9.172

Ralat piawai

SE = 9.172·√(1/7 + 1/7) = 4.903

Statistik ujian

t = (80 − 96.2)/4.903 = −3.304

Jawapan

t = −3.304

Dengan df = 12, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.179; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 56

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 0.842)·12/4)² = 55.67

Bundarkan ke atas

n = 56

Jawapan

n = 56

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.7608

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 368 − 15·127/5 = −13

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 3255 − 127²/5 = 29.2

Pekali korelasi

r = −13/√(10·29.2) = −0.7608

Jawapan

r = −0.7608

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 52.5

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 315/6 = 52.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 239

Garis regresi

b = 239/70 = 3.414

a = 52.5 − 3.414·8 = 25.19

ŷ = 25.19 + 3.414·x

Ramalan

ŷ = 25.19 + 3.414·8 = 52.5

Jawapan

ŷ = 52.5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1