Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
2025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 57, 18, 21, 36, 37, 45, 22.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 10.

μ = 50σ = 20x = 10
z =
3.KebarangkalianSederhana
n = 15k = 2N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 2 orang boleh dipilih daripada kumpulan 15? Susunan tidak penting.

n = 15k = 2
N =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.2510.3520.130.1540.15μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.35, 0.1, 0.15, 0.15Y = 3X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
70118.75P = ?

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 70 dan 118.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x1 = 70x2 = 118.75
P =
6.Taburan normalSukar
0.03 mm0D − d?

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, sd​ = 4.20LUd̄ = −8.6E = ?90%

Tekanan darah 20 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −8.6 dan sisihan piawai 4.2. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 20d̄ = −8.6sd = 4.290%t(19) = 1.729
E = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.599%

Sisihan piawai populasi ialah 28. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?

σ = 28E = 1.599%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.06402.064

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 102.1 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102.1s = 15n = 25
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −1.9601.96

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 190. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.

x̄ = 190σ = 20n = 1695%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy284116168221032xy510102030

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy24444765886510681275xy510506070x = 11

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (11, 74) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(11, 74)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.33

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 236/7 = 33.71

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 23.29² + (−15.71)² + (−12.71)² + 2.286² + 3.286² + 11.29² + (−11.71)² = 1231

Sisihan piawai

s = √(1231/6) = 14.33

Jawapan

s = 14.33
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (10 − 50)/20 = −2

Jawapan

z = −2
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 105

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

Jawapan

N = 105
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 4.179

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 1.6, Var(X) = 1.94, σX = 1.393

Perubahan linear

σY = |3|·1.393 = 4.179

Jawapan

σY = 4.179

Min memang berubah: E(Y) = 3·1.6 + 20 = 24.8.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8716

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (70 − 100)/15 = −2
z₂ = (118.75 − 100)/15 = 1.25

Luas antara

P = Φ(1.25) − Φ(−2) = 0.8944 − 0.02275 = 0.8716

Jawapan

P = 0.8716
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9515

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.01803 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.01803 = −1.66

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.66) = 0.9515

Jawapan

P = 0.9515
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 1.624 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 19, t = 1.729

Margin ralat

E = 1.729·4.2/√20 = 1.624

Jawapan

E = 1.624 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2313

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·28/1.5)² = 2312

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 2313

Jawapan

n = 2313
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

Statistik ujian

t = (102.1 − 100)/3 = 0.7

Jawapan

t = 0.7
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 180.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.96·20/√16 = 9.8

Had selang

L = 190 − 9.8 = 180.2

Jawapan

L = 180.2
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9768

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 89/5 = 17.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118
Syy = Σ(y − ȳ)² = 364.8

Pekali korelasi

r = 118/√(40·364.8) = 0.9768

Jawapan

r = 0.9768
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 1.643

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 357/6 = 59.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 225

Garis regresi

b = 225/70 = 3.214
a = 59.5 − 3.214·7 = 37
ŷ = 37 + 3.214·x

Nilai ramalan

ŷ = 37 + 3.214·11 = 72.36

Reja

e = 74 − 72.36 = 1.643

Jawapan

e = 1.643

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1