Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 11, 53, 32, 30, 26.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 112.5?
μ = 100σ = 10x = 112.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.3, 0.35, 0.1
σ =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 5p = 0.6k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 65 markah dan sisihan piawai 10 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 55 dan 75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 65σ = 10x1 = 55x2 = 75
P =
6.Taburan normalSukar
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Seret titik pemotong supaya 5% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.
μ = 500 hσ = 40 h5%
x = h
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 10 item mempunyai min 57.5 dan sisihan piawai s = 7.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.
n = 10x̄ = 57.5s = 7.595%t(9) = 2.262
E =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 23. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?
σ = 23E = 390%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 15 pelajar, skor min 51, sisihan piawai 4.5. Kumpulan 2: 6 pelajar, skor min 57.1, sisihan piawai 10.5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).
n₁ = 15x̄₁ = 51s₁ = 4.5n₂ = 6x̄₂ = 57.1s₂ = 10.5
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 4 unit dengan kuasa 80%. Sisihan piawai ialah 25. Cari saiz sampel minimum n.
α = 0.01kuasa = 80%δ = 4σ = 25zα = 2.326zβ = 0.842
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 76?
n = 6ŷ = 76
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 15.08
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 152/5 = 30.4
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−19.4)² + 22.6² + 1.6² + (−0.4)² + (−4.4)² = 909.2
Sisihan piawai
s = √(909.2/4) = 15.08
Jawapan
s = 15.08
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.1056
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.25
Jadual normal piawai
Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056
Jawapan
P = 0.1056
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 0.9539
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.25 + 2·0.3 + 3·0.35 + 4·0.1 = 2.3
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.25 + 4·0.3 + 9·0.35 + 16·0.1 = 6.2
Varians
Var(X) = 6.2 − 2.3² = 0.91
σ = √0.91 = 0.9539
Jawapan
σ = 0.9539
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2304
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 10·0.62·0.43 = 10·0.36·0.064 = 0.2304
Jawapan
P = 0.2304
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.6827
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (55 − 65)/10 = −1
z₂ = (75 − 65)/10 = 1
Luas antara
P = Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827
Jawapan
P = 0.6827
6.Taburan normal
Jawapan: x = 434 h
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri
Φ(z) = 0.05
z daripada jadual
z ≈ −1.64
Kembali kepada unit asal
x = 500 − 1.64·40 = 434 h
Jawapan
x = 434 h
7.Selang keyakinan
Jawapan: E = 5.365
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 9, t = 2.262
Margin ralat
E = 2.262·7.5/√10 = 5.365
Jawapan
E = 5.365
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 160
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.645·23/3)² = 159.1
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 160
Jawapan
n = 160
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = −1.905
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Varians terkumpul
sp² = (14·4.5² + 5·10.5²)/19 = 43.93
sp = 6.628
Ralat piawai
SE = 6.628·√(1/15 + 1/6) = 3.202
Statistik ujian
t = (51 − 57.1)/3.202 = −1.905
Jawapan
t = −1.905
Dengan df = 19, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.093; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: n = 393
Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = ((2.326 + 0.842)·25/4)² = 392
Bundarkan ke atas
n = 393
Jawapan
n = 393
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9441
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 197/5 = 39.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 45
Syy = Σ(y − ȳ)² = 227.2
Pekali korelasi
r = 45/√(10·227.2) = 0.9441
Jawapan
r = 0.9441
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 9.976
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 394/6 = 65.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366
Garis regresi
b = 366/70 = 5.229
a = 65.67 − 5.229·8 = 23.84
ŷ = 23.84 + 5.229·x
Selesaikan untuk x
x = (76 − 23.84)/5.229 = 9.976
Jawapan
x = 9.976
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1