Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 27, 58, 55, 56, 10, 35.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 76.25?
μ = 70σ = 5x = 76.25
P =
3.KebarangkalianSederhana
Sebuah beg mengandungi 8 bebola merah dan 8 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?
8 / 8
P =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 20. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.1, 0.25Y = 5X + 20
σY =
5.Taburan normalSederhana
hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 500 dan 582 h? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 500σ = 40x1 = 500x2 = 582
P =
6.Taburan normalSukar
Jisim X produk daripada barisan 1 dan Y daripada barisan 2 adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 500 g dan sisihan piawai 8 g, Y mempunyai min 490 g dan sisihan piawai 6 g. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Satu sampel 9 item mempunyai min 10 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.
n = 9x̄ = 10s = 3.599%t(8) = 3.355
had atas =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 6.7 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.
n = 30s = 6.7 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 50; sisihan piawai populasi diketahui ialah 24. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 45.86. Uji H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ < 50. Cari nilai-p p.
μ₀ = 50σ = 24n = 64x̄ = 45.86H₁: μ < μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 5. Pada hakikatnya min ialah 76.9. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 76.9σ = 5n = 25α = 0.10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 42Σy = 228Σx² = 364Σy² = 9132Σxy = 1770
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 9?
n = 6ŷ = 9
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 19.49
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 241/6 = 40.17
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−13.17)² + 17.83² + 14.83² + 15.83² + (−30.17)² + (−5.167)² = 1899
Sisihan piawai
s = √(1899/5) = 19.49
Jawapan
s = 19.49
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.8944
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.25
Jadual normal piawai
Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944
Jawapan
P = 0.8944
3.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.2333
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Pengambilan pertama dan kedua
P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0.2333
Jawapan
P = 0.2333
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 5.89
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 2.25, Var(X) = 1.387, σX = 1.178
Perubahan linear
σY = |5|·1.178 = 5.89
Jawapan
σY = 5.89
Min memang berubah: E(Y) = 5·2.25 + 20 = 31.25.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.4798
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (500 − 500)/40 = 0
z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05
Luas antara
P = Φ(2.05) − Φ(0) = 0.9798 − 0.5 = 0.4798
Jawapan
P = 0.4798
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8413
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g
Piawaikan
z = (0 − 10)/10 = −1
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−1) = 0.8413
Jawapan
P = 0.8413
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = 13.91
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nilai genting
df = n − 1 = 8, t = 3.355
Margin ralat
E = 3.355·3.5/√9 = 3.914
Selang
10 ± 3.914 → [6.086, 13.91]
Jawapan
had atas = 13.91
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 9.007 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 29·6.7² = 1302
Had bagi σ²
1302/45.722 = 28.47
1302/16.047 = 81.12
Had bagi σ
σ = √81.12 = 9.007 µm
Jawapan
σ = 9.007 µm
Selang 95% bagi σ: [5.336, 9.007] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.08379
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 24/√64 = 3
z = (45.86 − 50)/3 = −1.38
Luas ekor
Φ(1.38) = 0.9162
1 − Φ(1.38) = 0.0838
Nilai-p
p = 0.08379
Jawapan
p = 0.08379
p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 96.55 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 5/√25 = 1
x̄c = 80 − 1.282·1 = 78.72
z di bawah min sebenar
z = (78.72 − 76.9)/1 = 1.818
Kuasa
kuasa = P(Z < 1.818) = 96.55%
1 − β = 96.55%
Jawapan
1 − β = 96.55%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9613
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1770 − 42·228/6 = 174
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 9132 − 228²/6 = 468
Pekali korelasi
r = 174/√(70·468) = 0.9613
Jawapan
r = 0.9613
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 5.279
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 72/6 = 12
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 122
Garis regresi
b = 122/70 = 1.743
a = 12 − 1.743·7 = −0.2
ŷ = −0.2 + 1.743·x
Selesaikan untuk x
x = (9 − (−0.2))/1.743 = 5.279
Jawapan
x = 5.279
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1