Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 55, 32, 36, 12, 47.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 60?

μ = 50σ = 8x = 60

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.3, 0.15, 0.3

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 1 jawapan betul?

n = 11p = 0.6k = 1

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 171.35 dan 192 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 171.35x₂ = 192

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.02 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 21 item mempunyai min 56 dan sisihan piawai s = 4. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 21x̄ = 56s = 495%t(20) = 2.086

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 99% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?

p = 0.5E = 0.0199%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 6 pelajar, skor min 95.5, sisihan piawai 2. Kumpulan 2: 8 pelajar, skor min 86.3, sisihan piawai 10. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 6x̄₁ = 95.5s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 86.3s₂ = 10

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 5. Pada hakikatnya min ialah 76.8. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 76.8σ = 5n = 25α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 431Σx² = 135Σy² = 37467Σxy = 2211

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 10.

n = 6x = 10

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 16.38

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 182/5 = 36.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 18.6² + (−4.4)² + (−0.4)² + (−24.4)² + 10.6² = 1073

Sisihan piawai

s = √(1073/4) = 16.38

Jawapan

s = 16.38

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1056

Piawaikan

z = 1.25

Jadual normal piawai

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

Jawapan

P = 0.1056

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 2.324

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.25 + 2·0.3 + 4·0.15 + 6·0.3 = 3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.25 + 4·0.3 + 16·0.15 + 36·0.3 = 14.4

Varians

Var(X) = 14.4 − 3² = 5.4

σ = √5.4 = 2.324

Jawapan

σ = 2.324

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0006921

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 1) = 11·0.6¹·0.4¹⁰ = 11·0.6·0.0001049 = 0.0006921

Jawapan

P = 0.0006921

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8062

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (171.35 − 178)/7 = −0.95

z₂ = (192 − 178)/7 = 2

Luas antara

P = Φ(2) − Φ(−0.95) = 0.9772 − 0.1711 = 0.8062

Jawapan

P = 0.8062

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7611

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02828 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.02)/0.02828 = −0.71

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.71) = 0.7611

Jawapan

P = 0.7611

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 57.82

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 20, t = 2.086

Margin ralat

E = 2.086·4/√21 = 1.821

Selang

56 ± 1.821 → [54.18, 57.82]

Jawapan

had atas = 57.82

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 16590

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.01² = 16589

Bundarkan ke atas

n = 16590

Jawapan

n = 16590

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.199

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (5·2² + 7·10²)/12 = 60

s_p = 7.746

Ralat piawai

SE = 7.746·√(1/6 + 1/8) = 4.183

Statistik ujian

t = (95.5 − 86.3)/4.183 = 2.199

Jawapan

t = 2.199

Dengan df = 12, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.179; |t| lebih besar, maka H₀ ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 94 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 5/√25 = 1

x̄_c = 80 − 1.645·1 = 78.36

z di bawah min sebenar

z = (78.36 − 76.8)/1 = 1.555

Kuasa

kuasa = P(Z < 1.555) = 94%

1 − β = 94%

Jawapan

1 − β = 94%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9981

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2211 − 25·431/5 = 56

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 37467 − 431²/5 = 314.8

Pekali korelasi

r = 56/√(10·314.8) = 0.9981

Jawapan

r = 0.9981

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 100.9

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 526/6 = 87.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 464

Garis regresi

b = 464/70 = 6.629

a = 87.67 − 6.629·8 = 34.64

ŷ = 34.64 + 6.629·x

Ramalan

ŷ = 34.64 + 6.629·10 = 100.9

Jawapan

ŷ = 100.9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1