Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 23, 18, 34, 39, 54, 40.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 66?
μ = 70σ = 5x = 66
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.2, 0.35, 0.25, 0.15
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.25, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?
n = 7p = 0.25k = 2
P =
5.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 174.5 dan 179.75 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 174.5x2 = 179.75
P =
6.Taburan normalSukar
masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 25% daripadanya (persentil ke-25).
μ = 32σ = 6P = 25%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
Tekanan darah 12 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −9 dan sisihan piawai 4.9. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min beza.
n = 12d̄ = −9sd = 4.999%t(11) = 3.106
had atas = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 22. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?
σ = 22E = 199%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 12. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 252.19. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ > 250. Cari nilai-p p.
μ₀ = 250σ = 12n = 64x̄ = 252.19H₁: μ > μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 200 terhadap H₁: μ > 200 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 7.5. Pada hakikatnya min ialah 203. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 200μ = 203σ = 7.5n = 25α = 0.10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 6Σx = 27Σy = 360Σx² = 139Σy² = 21992Σxy = 1700
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 46) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 6(4.5, 46)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.93
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 208/6 = 34.67
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−11.67)² + (−16.67)² + (−0.6667)² + 4.333² + 19.33² + 5.333² = 835.3
Sisihan piawai
s = √(835.3/5) = 12.93
Jawapan
s = 12.93
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.7881
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = −0.8
Jadual normal piawai
Φ(−0.8) = 0.2119
P = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.188
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.05 + 1·0.2 + 2·0.35 + 3·0.25 + 4·0.15 = 2.25
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.05 + 1·0.2 + 4·0.35 + 9·0.25 + 16·0.15 = 6.25
Varians
Var(X) = 6.25 − 2.25² = 1.188
Jawapan
Var(X) = 1.188
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.3115
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Formula binomial
P(X = 2) = 21·0.252·0.755 = 21·0.0625·0.2373 = 0.3115
Jawapan
P = 0.3115
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.2902
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (174.5 − 178)/7 = −0.5
z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25
Luas antara
P = Φ(0.25) − Φ(−0.5) = 0.5987 − 0.3085 = 0.2902
Jawapan
P = 0.2902
6.Taburan normal
Jawapan: x = 27.95 min
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745
Kembali kepada x
x = 32 + −0.6745·6 = 27.95 min
Jawapan
x = 27.95 min
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = −4.607 mmHg
Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.
Nilai genting
df = 11, t = 3.106
Margin ralat
E = 3.106·4.9/√12 = 4.393
Selang
−9 ± 4.393 → [−13.39, −4.607]
Jawapan
had atas = −4.607 mmHg
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 3212
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (2.576·22/1)² = 3212
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 3212
Jawapan
n = 3212
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: p = 0.07215
Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.
Statistik ujian
SE = σ/√n = 12/√64 = 1.5
z = (252.19 − 250)/1.5 = 1.46
Luas ekor
Φ(1.46) = 0.9279
1 − Φ(1.46) = 0.0721
Nilai-p
p = 0.07215
Jawapan
p = 0.07215
p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 76.36 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 200 + 1.282·1.5 = 201.9
z di bawah min sebenar
z = (201.9 − 203)/1.5 = −0.718
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.718) = 76.36%
1 − β = 76.36%
Jawapan
1 − β = 76.36%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9659
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 1700 − 27·360/6 = 80
Sxx = 139 − 27²/6 = 17.5
Syy = 21992 − 360²/6 = 392
Pekali korelasi
r = 80/√(17.5·392) = 0.9659
Jawapan
r = 0.9659
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 2.619
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 33/6 = 5.5
ȳ = 274/6 = 45.67
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40
Garis regresi
b = 40/17.5 = 2.286
a = 45.67 − 2.286·5.5 = 33.1
ŷ = 33.1 + 2.286·x
Nilai ramalan
ŷ = 33.1 + 2.286·4.5 = 43.38
Reja
e = 46 − 43.38 = 2.619
Jawapan
e = 2.619
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1