Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 34, 21, 36, 25, 26, 45.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 94.

μ = 100σ = 12x = 94

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.05, 0.15, 0.35, 0.15, 0.3

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €25 dengan kebarangkalian 0.3 dan €250 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€25: p = 0.3€250: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.3401. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.3401

z =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 80% daripadanya (persentil ke-80).

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 69 dan sisihan piawai s = 20. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 16x̄ = 69s = 2099%t(15) = 2.947

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 11 petak, min hasil 55.5 kg, sisihan piawai 2 kg. Kumpulan petak 2: 11 petak, min 53.5 kg, sisihan piawai 1 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 90% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 55.5s₁ = 2n₂ = 11x̄₂ = 53.5s₂ = 190%t(20) = 1.725

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 100; sisihan piawai populasi diketahui ialah 32. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 109.2. Uji H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100. Cari nilai-p p.

μ₀ = 100σ = 32n = 64x̄ = 109.2H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 77.8. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 77.8σ = 8n = 1699%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 20?

n = 6ŷ = 20

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 8.513

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 211/7 = 30.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−6.143)² + 3.857² + (−9.143)² + 5.857² + (−5.143)² + (−4.143)² + 14.86² = 434.9

Sisihan piawai

s = √(434.9/6) = 8.513

Jawapan

s = 8.513

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (94 − 100)/12 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.45

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.05 + 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.3 = 2.5

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.05 + 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.3 = 7.7

Varians

Var(X) = 7.7 − 2.5² = 1.45

Jawapan

Var(X) = 1.45

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 7.5 €

Hasil bersih

G: 20 (p = 0.3), 245 (p = 0.02), −5 (p = 0.68)

Nilai jangkaan

E(G) = 20·0.3 + 245·0.02 − 5·0.68 = 7.5 €

Jawapan

E(G) = 7.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.44

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.3401)/2 = 0.6700

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.6700 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.44

Jawapan

z = 0.44

6.Taburan normal

Jawapan: x = 183.9 cm

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

Kembali kepada x

x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm

Jawapan

x = 183.89 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 54.27

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·20/√16 = 14.73

Selang

69 ± 14.73 → [54.27, 83.73]

Jawapan

had bawah = 54.27

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 1.163 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (10·2² + 10·1²)/20 = 2.5

s_p = 1.581

Margin ralat

E = 1.725·1.581·√(1/11 + 1/11) = 1.163

Jawapan

E = 1.163 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.01072

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 32/√64 = 4

z = (109.2 − 100)/4 = 2.3

Luas ekor

Φ(2.3) = 0.9893

1 − Φ(2.3) = 0.0107

Nilai-p

p = 0.01072

Jawapan

p = 0.01072

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 82.95

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·8/√16 = 5.152

Had selang

U = 77.8 + 5.152 = 82.95

Jawapan

U = 82.95

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9635

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 283/5 = 56.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 441.2

Pekali korelasi

r = 128/√(40·441.2) = 0.9635

Jawapan

r = 0.9635

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.971

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 160/6 = 26.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 230

Garis regresi

b = 230/70 = 3.286

a = 26.67 − 3.286·7 = 3.667

ŷ = 3.667 + 3.286·x

Selesaikan untuk x

x = (20 − 3.667)/3.286 = 4.971

Jawapan

x = 4.971

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1