Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
2025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 55, 35, 20, 29, 37, 37.

n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 20. Cari skor-z z bagi skor 26.

μ = 50σ = 20x = 26
z =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.3510.3520.3μ = 0.95

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3
σ =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)100.35200.15300.15400.35μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 10X − 3. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0.35, 0.15, 0.15, 0.35Y = 10X − 3
σY =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.5935

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.5935. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.5935
z =
6.Taburan normalSukar
557085100115130145markahatas 40%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 40% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah40%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 40 telefon, min 95 j, sisihan piawai diketahui 17 j. Model 2: 30 telefon, min 82.5 j, sisihan piawai diketahui 5 j. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 95 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 82.5 hσ₂ = 5 h99%
had atas = h
8.Selang keyakinanSukar
p ≈ 0.8, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0490%

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.8 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.04?

p ≈ 0.8E = 0.0490%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.98401.984

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 198.2 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198.2s = 10n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.05βσ = 20, kuasa 95%, n = ?

Ujian z satu sisi pada α = 0.05 mesti mengesan anjakan min sebanyak 2.5 unit dengan kuasa 95%. Sisihan piawai ialah 20. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.05kuasa = 95%δ = 2.5σ = 20zα = 1.645zβ = 1.645
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy126224323421518615xy246152025

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy21342162983510431251xy5102040x = 11

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 11.

n = 6x = 11
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.79

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 272/7 = 38.86

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 20.14² + 16.14² + (−3.857)² + (−18.86)² + (−9.857)² + (−1.857)² + (−1.857)² = 1141

Sisihan piawai

s = √(1141/6) = 13.79

Jawapan

s = 13.79
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (26 − 50)/20 = −1.2

Jawapan

z = −1.2
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

Varians

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475
σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 128.5

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 25, Var(X) = 165, σX = 12.85

Perubahan linear

σY = |10|·12.85 = 128.5

Jawapan

σY = 128.5

Min memang berubah: E(Y) = 10·25 − 3 = 247.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.83

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.5935)/2 = 0.7967

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7967 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.83

Jawapan

z = 0.83
6.Taburan normal

Jawapan: x = 103.8 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.6

z daripada jadual

z ≈ 0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 markah

Jawapan

x = 103.8 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 19.81 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 95 − 82.5 = 12.5

Ralat piawai

SE = √(17²/40 + 5²/30) = 2.839

Margin ralat

E = 2.576·2.839 = 7.313

Selang

12.5 ± 7.313 → [5.187, 19.81]

Jawapan

had atas = 19.81 h

Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 271

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.8·0.2/0.04² = 270.6

Bundarkan ke atas

n = 271

Jawapan

n = 271
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Statistik ujian

t = (198.2 − 200)/1 = −1.8

Jawapan

t = −1.8
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 693

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((1.645 + 1.645)·20/2.5)² = 692.7

Bundarkan ke atas

n = 693

Jawapan

n = 693
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9849

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 127/6 = 21.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −37.5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 82.83

Pekali korelasi

r = −37.5/√(17.5·82.83) = −0.9849

Jawapan

r = −0.9849
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 46.97

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 192/6 = 32

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 262

Garis regresi

b = 262/70 = 3.743
a = 32 − 3.743·7 = 5.8
ŷ = 5.8 + 3.743·x

Ramalan

ŷ = 5.8 + 3.743·11 = 46.97

Jawapan

ŷ = 46.97

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1