Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
10152025303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 10, 12, 56, 41, 33.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 5. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 57.5?

μ = 60σ = 5x = 57.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)00.3510.320.35μ = 1

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.3, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
n = 7, p = 0.5: P(X ≤ 1) = ?k01234567

7 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 7p = 0.5
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.9582

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9582. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9582
z =
6.Taburan normalSukar
4 s0X − Y?

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
7.Selang keyakinanSederhana
n = 6, sd​ = 7.40L = ?Ud̄ = −2.9E90%

Tekanan darah 6 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −2.9 dan sisihan piawai 7.4. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min beza.

n = 6d̄ = −2.9sd = 7.490%t(5) = 2.015
had bawah = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
μ₁ − μ₂, t(12) = 3.0550LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 60 kg, sisihan piawai 4 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 50 kg, sisihan piawai 2 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 60s₁ = 4n₂ = 8x̄₂ = 50s₂ = 299%t(12) = 3.055
had atas = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.9901.99

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 496.6 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 496.6s = 10n = 81
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −2.57602.576

Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 502.6. Sisihan piawai populasi ialah 8. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 502.6σ = 8n = 6499%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy156217821980218923105xy15206080100

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 95Σy = 418Σx² = 1845Σy² = 35914Σxy = 8128
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy1293415517629781189xy510406080x = 2

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.

n = 6x = 2
ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 152/5 = 30.4

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−20.4)² + (−18.4)² + 25.6² + 10.6² + 2.6² = 1529

Sisihan piawai

s = √(1529/4) = 19.55

Jawapan

s = 19.55
2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.3085

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = −0.5

Jadual normal piawai

Φ(−0.5) = 0.3085
P = 0.3085

Jawapan

P = 0.3085
3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8367

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.35 + 1·0.3 + 2·0.35 = 1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.3 + 4·0.35 = 1.7

Varians

Var(X) = 1.7 − 1² = 0.7
σ = √0.7 = 0.8367

Jawapan

σ = 0.8367
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.0625

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.57 = 0.007813
P(X = 1) = 7·0.5·0.56 = 0.05469

Tambahkannya

P = 0.007813 + 0.05469 = 0.0625

Jawapan

P = 0.0625
5.Taburan normal

Jawapan: z = −1.73

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.9582 = 0.0418

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.0418 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.73

Jawapan

z = −1.73
6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881
7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −8.987 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 5, t = 2.015

Margin ralat

E = 2.015·7.4/√6 = 6.087

Selang

−2.9 ± 6.087 → [−8.987, 3.187]

Jawapan

had bawah = −8.987 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 14.95 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

sp² = (5·4² + 7·2²)/12 = 9
sp = 3

Margin ralat

E = 3.055·3·√(1/6 + 1/8) = 4.95

Selang

10 ± 4.95 → [5.05, 14.95]

Jawapan

had atas = 14.95 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −3.06

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√81 = 10/9 = 1.111

Statistik ujian

t = (496.6 − 500)/1.111 = −3.06

Jawapan

t = −3.06
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| > 1.99, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 500

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·8/√64 = 2.576

Had selang

L = 502.6 − 2.576 = 500

Jawapan

L = 500
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9447

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

Sxy = 8128 − 95·418/5 = 186
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 35914 − 418²/5 = 969.2

Pekali korelasi

r = 186/√(40·969.2) = 0.9447

Jawapan

r = 0.9447
12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 34.22

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 350/6 = 58.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 422

Garis regresi

b = 422/70 = 6.029
a = 58.33 − 6.029·6 = 22.16
ŷ = 22.16 + 6.029·x

Ramalan

ŷ = 22.16 + 6.029·2 = 34.22

Jawapan

ŷ = 34.22

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1