Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 52, 14, 31, 26, 20, 34, 34.
n = 7
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 122.5?
μ = 100σ = 15x = 122.5
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.1, 0.3, 0.25, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
5 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 5p = 0.6
P =
5.Taburan normalSederhana
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 176.25 dan 190.6 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.
μ = 178σ = 7x1 = 176.25x2 = 190.6
P =
6.Taburan normalSukar
Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 1.5. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% berdasarkan 450 cerapan?
99%n₁ = 50E₁ = 1.590%n₂ = 450
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Diameter 30 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 6.4 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had atas σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 29, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 16.047 dan 2.5% terletak di atas 45.722.
n = 30s = 6.4 µmχ² = 16.047, 45.722
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 52.83 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.
μ₀ = 50x̄ = 52.83s = 10n = 36
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 81 ukuran mempunyai min 47.8. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 47.8σ = 15n = 8195%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.
n = 5
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 57) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(3.5, 57)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.17
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 211/7 = 30.14
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 21.86² + (−16.14)² + 0.8571² + (−4.143)² + (−10.14)² + 3.857² + 3.857² = 888.9
Sisihan piawai
s = √(888.9/6) = 12.17
Jawapan
s = 12.17
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.06681
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 1.5
Jadual normal piawai
Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681
Jawapan
P = 0.06681
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.014
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.1 + 2·0.3 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.85
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.1 + 4·0.3 + 9·0.25 + 16·0.35 = 9.15
Varians
Var(X) = 9.15 − 2.85² = 1.027
σ = √1.027 = 1.014
Jawapan
σ = 1.014
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.08704
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.45 = 0.01024
P(X = 1) = 5·0.6·0.44 = 0.0768
Tambahkannya
P = 0.01024 + 0.0768 = 0.08704
Jawapan
P = 0.08704
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.5628
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
Skor-z
z₁ = (176.25 − 178)/7 = −0.25
z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8
Luas antara
P = Φ(1.8) − Φ(−0.25) = 0.9641 − 0.4013 = 0.5628
Jawapan
P = 0.5628
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7389
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
Piawaikan
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
Jawapan
P = 0.7389
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 0.3193
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/450) = 0.2129
Margin baharu
E₂ = 1.5·0.2129 = 0.3193
Jawapan
E₂ = 0.3193
8.Selang keyakinan
Jawapan: σ = 8.604 µm
Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.
Hasil tambah kuasa dua
(n − 1)s² = 29·6.4² = 1188
Had bagi σ²
1188/45.722 = 25.98
1188/16.047 = 74.02
Had bagi σ
σ = √74.02 = 8.604 µm
Jawapan
σ = 8.604 µm
Selang 95% bagi σ: [5.097, 8.604] µm.
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.698
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√36 = 10/6 = 1.667
Statistik ujian
t = (52.83 − 50)/1.667 = 1.698
Jawapan
t = 1.698
t0.025; df = 35 = 2.03
|t| < 2.03, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 44.53
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·15/√81 = 3.267
Had selang
L = 47.8 − 3.267 = 44.53
Jawapan
L = 44.53
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = −0.9361
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 112/5 = 22.4
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19
Syy = Σ(y − ȳ)² = 41.2
Pekali korelasi
r = −19/√(10·41.2) = −0.9361
Jawapan
r = −0.9361
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = 3.55
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 259/5 = 51.8
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 33
Garis regresi
b = 33/10 = 3.3
a = 51.8 − 3.3·3 = 41.9
ŷ = 41.9 + 3.3·x
Nilai ramalan
ŷ = 41.9 + 3.3·3.5 = 53.45
Reja
e = 57 − 53.45 = 3.55
Jawapan
e = 3.55
Titik itu terletak di atas garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1