Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 41, 57, 22, 55, 52, 48.
n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 100. Cari skor-z z bagi skor 380.
μ = 500σ = 100x = 380
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.1, 0.35, 0.35, 0.2
σ =
4.KebarangkalianSukar
X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 4. Cari sisihan piawai σY bagi Y.
x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35Y = 2X + 4
σY =
5.Taburan normalSederhana
Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya di bawah 301.7 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 301.7 kg
P =
6.Taburan normalSukar
Ketinggian X lelaki dan Y wanita dalam satu kumpulan adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 180 cm dan sisihan piawai 10 cm, Y mempunyai min 170 cm dan sisihan piawai 12 cm. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 132 j, sisihan piawai diketahui 18 j. Model 2: 100 telefon, min 146 j, sisihan piawai diketahui 14 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 132 hσ₁ = 18 hn₂ = 100x̄₂ = 146 hσ₂ = 14 h95%
had atas = h
8.Selang keyakinanSukar
Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 7 petak, min hasil 95 kg, sisihan piawai 9 kg. Kumpulan petak 2: 14 petak, min 100.5 kg, sisihan piawai 5.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 95s₁ = 9n₂ = 14x̄₂ = 100.5s₂ = 5.599%t(19) = 2.861
had bawah = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 502.1 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.
μ₀ = 500x̄ = 502.1s = 5n = 16
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 25; sisihan piawai diketahui ialah 7.5. Pada hakikatnya min ialah 82.25. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.
μ₀ = 80μ = 82.25σ = 7.5n = 25α = 0.10
1 − β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.
n = 5Σx = 110Σy = 488Σx² = 2460Σy² = 48414Σxy = 10902
r =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (10, 62) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.
n = 5(10, 62)
e =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 12.98
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 275/6 = 45.83
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−4.833)² + 11.17² + (−23.83)² + 9.167² + 6.167² + 2.167² = 842.8
Sisihan piawai
s = √(842.8/5) = 12.98
Jawapan
s = 12.98
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = −1.2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (380 − 500)/100 = −1.2
Jawapan
z = −1.2
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 0.9097
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.1 + 1·0.35 + 2·0.35 + 3·0.2 = 1.65
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.1 + 1·0.35 + 4·0.35 + 9·0.2 = 3.55
Varians
Var(X) = 3.55 − 1.65² = 0.8275
σ = √0.8275 = 0.9097
Jawapan
σ = 0.9097
4.Kebarangkalian
Jawapan: σY = 1.609
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Serakan X
μ = 1.05, Var(X) = 0.6475, σX = 0.8047
Perubahan linear
σY = |2|·0.8047 = 1.609
Jawapan
σY = 1.609
Min memang berubah: E(Y) = 2·1.05 + 4 = 6.1.
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.8365
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan jumlah
μT = 300 kg, σT = 0.5·√12 = 1.732 kg
Piawaikan
z = (301.7 − 300)/1.732 = 0.98
Kebarangkalian
P = Φ(0.98) = 0.8365
Jawapan
P = 0.8365
6.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7389
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan beza
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
Piawaikan
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
Kebarangkalian
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
Jawapan
P = 0.7389
7.Selang keyakinan
Jawapan: had atas = −8.306 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 132 − 146 = −14
Ralat piawai
SE = √(18²/50 + 14²/100) = 2.905
Margin ralat
E = 1.96·2.905 = 5.694
Selang
−14 ± 5.694 → [−19.69, −8.306]
Jawapan
had atas = −8.306 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −14.51 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Sisihan piawai terkumpul
sp² = (6·9² + 13·5.5²)/19 = 46.28
sp = 6.803
Margin ralat
E = 2.861·6.803·√(1/7 + 1/14) = 9.009
Selang
−5.5 ± 9.009 → [−14.51, 3.509]
Jawapan
had bawah = −14.51 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 1.68
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 5/√16 = 5/4 = 1.25
Statistik ujian
t = (502.1 − 500)/1.25 = 1.68
Jawapan
t = 1.68
t0.025; df = 15 = 2.131
|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: 1 − β = 58.63 %
Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Min sampel genting
SE = 7.5/√25 = 1.5
x̄c = 80 + 1.282·1.5 = 81.92
z di bawah min sebenar
z = (81.92 − 82.25)/1.5 = −0.218
Kuasa
kuasa = P(Z > −0.218) = 58.63%
1 − β = 58.63%
Jawapan
1 − β = 58.63%
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r = 0.9367
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Hasil tambah berpusat
Sxy = 10902 − 110·488/5 = 166
Sxx = 2460 − 110²/5 = 40
Syy = 48414 − 488²/5 = 785.2
Pekali korelasi
r = 166/√(40·785.2) = 0.9367
Jawapan
r = 0.9367
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: e = −3.2
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 263/5 = 52.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168
Garis regresi
b = 168/40 = 4.2
a = 52.6 − 4.2·7 = 23.2
ŷ = 23.2 + 4.2·x
Nilai ramalan
ŷ = 23.2 + 4.2·10 = 65.2
Reja
e = 62 − 65.2 = −3.2
Jawapan
e = −3.2
Titik itu terletak di bawah garis.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1