Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 17, 51, 59, 15, 42.

n = 5

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 170 dan sisihan piawai 10. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 185?

μ = 170σ = 10x = 185

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2p(x): 0.3, 0.35, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 2X + 1. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.2, 0.1Y = 2X + 1

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.2510. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.2510

z =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 15 item mempunyai min 28 dan sisihan piawai s = 17. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 15x̄ = 28s = 1795%t(14) = 2.145

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 20 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 5.5 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 19, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 8.907 dan 2.5% terletak di atas 32.852.

n = 20s = 5.5 µmχ² = 8.907, 32.852

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 81 pelajar mempunyai skor min 51.56 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51.56s = 20n = 81

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 193. Sisihan piawai populasi ialah 20. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 193σ = 20n = 3690%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 25Σy = 383Σx² = 165Σy² = 30283Σxy = 2107

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 13) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(3.5, 13)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 19.93

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 184/5 = 36.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−19.8)² + 14.2² + 22.2² + (−21.8)² + 5.2² = 1589

Sisihan piawai

s = √(1589/4) = 19.93

Jawapan

s = 19.93

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.06681

Piawaikan

z = 1.5

Jadual normal piawai

Φ(1.5) = 0.9332

P = 1 − 0.9332 = 0.06681

Jawapan

P = 0.06681

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 0.8047

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.35 + 2·0.35 = 1.05

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.35 + 4·0.35 = 1.75

Varians

Var(X) = 1.75 − 1.05² = 0.6475

σ = √0.6475 = 0.8047

Jawapan

σ = 0.8047

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.439

Serakan X

μ = 1.75, Var(X) = 1.488, σ_X = 1.22

Perubahan linear

σ_Y = |2|·1.22 = 2.439

Jawapan

σ_Y = 2.439

Min memang berubah: E(Y) = 2·1.75 + 1 = 4.5.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.32

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.2510)/2 = 0.6255

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.6255 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.32

Jawapan

z = 0.32

6.Taburan normal

Jawapan: x = 448.7 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

Kembali kepada x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

Jawapan

x = 448.74 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 37.42

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 14, t = 2.145

Margin ralat

E = 2.145·17/√15 = 9.415

Selang

28 ± 9.415 → [18.58, 37.42]

Jawapan

had atas = 37.42

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 4.183 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 19·5.5² = 574.8

Had bagi σ²

574.8/32.852 = 17.5

574.8/8.907 = 64.53

Had bagi σ

σ = √17.5 = 4.183 µm

Jawapan

σ = 4.183 µm

Selang 95% bagi σ: [4.183, 8.033] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.702

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√81 = 20/9 = 2.222

Statistik ujian

t = (51.56 − 50)/2.222 = 0.702

Jawapan

t = 0.702

t_{0.025; df = 80} = 1.99

|t| < 1.99, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 187.5

Margin ralat

E = 1.645·20/√36 = 5.483

Had selang

L = 193 − 5.483 = 187.5

Jawapan

L = 187.5

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9874

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2107 − 25·383/5 = 192

S_xx = 165 − 25²/5 = 40

S_yy = 30283 − 383²/5 = 945.2

Pekali korelasi

r = 192/√(40·945.2) = 0.9874

Jawapan

r = 0.9874

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −4.833

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 107/6 = 17.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31.5

Garis regresi

b = −31.5/17.5 = −1.8

a = 17.83 − (−1.8)·3.5 = 24.13

ŷ = 24.13 − 1.8·x

Nilai ramalan

ŷ = 24.13 + (−1.8)·3.5 = 17.83

Reja

e = 13 − 17.83 = −4.833

Jawapan

e = −4.833

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1