Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 33, 10, 18, 60, 15, 52.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 52.

μ = 70σ = 12x = 52

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 8 bebola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

8 / 9

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 7 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 7p = 0.1k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 250 dan 259 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 250x₂ = 259

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.04 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.04 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 25 item mempunyai min 20 dan sisihan piawai s = 16.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk min.

n = 25x̄ = 20s = 16.599%t(24) = 2.797

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 12 petak, min hasil 75.5 kg, sisihan piawai 3 kg. Kumpulan petak 2: 5 petak, min 84.5 kg, sisihan piawai 8.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 12x̄₁ = 75.5s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 84.5s₂ = 8.599%t(15) = 2.947

had bawah = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 128.4 dan sisihan piawai sampel 20. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 128.4s = 20n = 25

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 50 terhadap H₁: μ < 50 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 8. Pada hakikatnya min ialah 47.8. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 50μ = 47.8σ = 8n = 64α = 0.05

β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 36Σy = 429Σx² = 286Σy² = 32063Σxy = 2879

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (24, 74) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(24, 74)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 20.74

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 188/6 = 31.33

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 1.667² + (−21.33)² + (−13.33)² + 28.67² + (−16.33)² + 20.67² = 2151

Sisihan piawai

s = √(2151/5) = 20.74

Jawapan

s = 20.74

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.5

Piawaikan

z = (52 − 70)/12 = −1.5

Jawapan

z = −1.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2059

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0.2059

Jawapan

P = 0.2059

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.124

Formula binomial

P(X = 2) = 21·0.1²·0.9⁵ = 21·0.01·0.5905 = 0.124

Jawapan

P = 0.124

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.4641

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (250 − 250)/5 = 0

z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8

Luas antara

P = Φ(1.8) − Φ(0) = 0.9641 − 0.5 = 0.4641

Jawapan

P = 0.4641

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9706

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02121 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.04)/0.02121 = −1.89

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.89) = 0.9706

Jawapan

P = 0.9706

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 10.77

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 24, t = 2.797

Margin ralat

E = 2.797·16.5/√25 = 9.23

Selang

20 ± 9.23 → [10.77, 29.23]

Jawapan

had bawah = 10.77

8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −16.98 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (11·3² + 4·8.5²)/15 = 25.87

s_p = 5.086

Margin ralat

E = 2.947·5.086·√(1/12 + 1/5) = 7.978

Selang

−9 ± 7.978 → [−16.98, −1.022]

Jawapan

had bawah = −16.98 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

Statistik ujian

t = (128.4 − 120)/4 = 2.1

Jawapan

t = 2.1

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| > 2.064, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 28.94 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 50 − 1.645·1 = 48.35

z di bawah min sebenar

z = (48.35 − 47.8)/1 = 0.555

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < 0.555) = 71.06%

β = 100% − 71.06% = 28.94%

Jawapan

β = 28.94%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.978

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 2879 − 36·429/6 = 305

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 32063 − 429²/6 = 1390

Pekali korelasi

r = 305/√(70·1390) = 0.978

Jawapan

r = 0.978

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.281

Min

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 401/6 = 66.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 171

Garis regresi

b = 171/70 = 2.443

a = 66.83 − 2.443·22 = 13.09

ŷ = 13.09 + 2.443·x

Nilai ramalan

ŷ = 13.09 + 2.443·24 = 71.72

Reja

e = 74 − 71.72 = 2.281

Jawapan

e = 2.281

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1