Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 20, 53, 42, 33, 26, 42.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 50. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 450?

μ = 500σ = 50x = 450

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.3, 0.2, 0.25, 0.25

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €9 dengan kebarangkalian 0.3 dan €60 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€9: p = 0.3€60: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9131. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9131

z =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 80% daripadanya (persentil ke-80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 6 item mempunyai min 78.5 dan sisihan piawai s = 7. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk min.

n = 6x̄ = 78.5s = 795%t(5) = 2.571

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 9. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 9E = 395%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 64 cerapan mempunyai min 244.1. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ < 250. Cari nilai-p p.

μ₀ = 250σ = 20n = 64x̄ = 244.1H₁: μ < μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 36 ukuran mempunyai min 125. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 90% bagi min.

x̄ = 125σ = 10n = 3690%

U =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 15Σy = 185Σx² = 55Σy² = 6899Σxy = 578

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 22.5.

n = 5x = 22.5

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 12.05

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 216/6 = 36

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 17² + 6² + (−3)² + (−10)² + 6² = 726

Sisihan piawai

s = √(726/5) = 12.05

Jawapan

s = 12.05

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.1587

Piawaikan

z = −1

Jadual normal piawai

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.161

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.3 + 1·0.2 + 2·0.25 + 3·0.25 = 1.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.3 + 1·0.2 + 4·0.25 + 9·0.25 = 3.45

Varians

Var(X) = 3.45 − 1.45² = 1.348

σ = √1.348 = 1.161

Jawapan

σ = 1.161

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.9 €

Hasil bersih

G: 6 (p = 0.3), 57 (p = 0.02), −3 (p = 0.68)

Nilai jangkaan

E(G) = 6·0.3 + 57·0.02 − 3·0.68 = 0.9 €

Jawapan

E(G) = 0.9 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = −1.36

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.9131 = 0.0869

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.0869 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.36

Jawapan

z = −1.36

6.Taburan normal

Jawapan: x = 533.7 h

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

Kembali kepada x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

Jawapan

x = 533.66 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 85.85

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 5, t = 2.571

Margin ralat

E = 2.571·7/√6 = 7.347

Selang

78.5 ± 7.347 → [71.15, 85.85]

Jawapan

had atas = 85.85

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 35

Selesaikan untuk n

n = (1.96·9/3)² = 34.57

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 35

Jawapan

n = 35

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.009137

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 20/√64 = 2.5

z = (244.1 − 250)/2.5 = −2.36

Luas ekor

Φ(2.36) = 0.9909

1 − Φ(2.36) = 0.0091

Nilai-p

p = 0.009137

Jawapan

p = 0.009137

p ≤ 0.05, maka H₀ ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 127.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 1.645·10/√36 = 2.742

Had selang

U = 125 + 2.742 = 127.7

Jawapan

U = 127.7

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9898

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 578 − 15·185/5 = 23

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 6899 − 185²/5 = 54

Pekali korelasi

r = 23/√(10·54) = 0.9898

Jawapan

r = 0.9898

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 123.3

Min

x̄ = 120/5 = 24

ȳ = 663/5 = 132.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 558

Garis regresi

b = 558/90 = 6.2

a = 132.6 − 6.2·24 = −16.2

ŷ = −16.2 + 6.2·x

Ramalan

ŷ = −16.2 + 6.2·22.5 = 123.3

Jawapan

ŷ = 123.3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1