Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
25303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 59, 54, 51, 25, 42.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 92.

μ = 100σ = 10x = 92
z =
3.KebarangkalianSederhana
n = 7k = 4N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 7? Susunan tidak penting.

n = 7k = 4
N =
4.KebarangkalianSukar
€p(x)−30.8990.11470.01

Satu permainan berharga €3 untuk dimain. Anda menang €12 dengan kebarangkalian 0.1 dan €150 dengan kebarangkalian 0.01; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €3€12: p = 0.1€150: p = 0.01
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek antara −z dan z = 0.5646

Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.5646. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.5646
z =
6.Taburan normalSukar
557085100115130145markahbawah 60%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Seret titik pemotong supaya 60% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 100 markahσ = 15 markah60%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
x̄E₁ = 10.295%, n = 25x̄E₂ = ?99%, n = 25

Selang keyakinan 95% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 10.2. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 99% daripada data yang sama?

95%n₁ = 25E₁ = 10.299%
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
σ = 39, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

Sisihan piawai populasi ialah 39. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5?

σ = 39E = 2.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
−0.840.84p = ?

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 20. Satu sampel rawak 25 cerapan mempunyai min 123.36. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ ≠ 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 20n = 25x̄ = 123.36H₁: μ ≠ μ₀
p =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
z −2.57602.576

Satu sampel 100 ukuran mempunyai min 497.6. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had atas U selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 497.6σ = 10n = 10099%
U =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy244561081310171217xy51051015

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy125224323420517xy242025x = 4.5

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (4.5, 21) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(4.5, 21)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.37

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 231/5 = 46.2

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 12.8² + 7.8² + 4.8² + (−21.2)² + (−4.2)² = 714.8

Sisihan piawai

s = √(714.8/4) = 13.37

Jawapan

s = 13.37
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (92 − 100)/10 = −0.8

Jawapan

z = −0.8
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 35

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(7, 4) = (7·6·5·4)/(4·3·2·1) = 35

Jawapan

N = 35
4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = −0.3 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 9 (p = 0.1), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.89)

Nilai jangkaan

E(G) = 9·0.1 + 147·0.01 − 3·0.89 = −0.3 €

Jawapan

E(G) = −0.3 €

Nilai negatif bermaksud anda kehilangan wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = 0.78

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = (1 + 0.5646)/2 = 0.7823

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.7823 di dalam jadual dan baca z.

z = 0.78

Jawapan

z = 0.78
6.Taburan normal

Jawapan: x = 103.8 markah

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.6

z daripada jadual

z ≈ 0.25

Kembali kepada unit asal

x = 100 + 0.25·15 = 103.8 markah

Jawapan

x = 103.8 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 13.41

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (2.576/1.96)·√(25/25) = 1.314

Margin baharu

E₂ = 10.2·1.314 = 13.41

Jawapan

E₂ = 13.41
8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 935

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·39/2.5)² = 934.9

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 935

Jawapan

n = 935
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.4009

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 20/√25 = 4
z = (123.36 − 120)/4 = 0.84

Luas ekor

Φ(0.84) = 0.7995
1 − Φ(0.84) = 0.2005

Nilai-p

p = 2·0.2005 = 0.4009

Jawapan

p = 0.4009

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: U = 500.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·10/√100 = 2.576

Had selang

U = 497.6 + 2.576 = 500.2

Jawapan

U = 500.2
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9538

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 66/6 = 11

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 104
Syy = Σ(y − ȳ)² = 162

Pekali penentuan

r² = 104²/(70·162) = 0.9538

Jawapan

r² = 0.9538

Kira-kira 95.38% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.2

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 109/5 = 21.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Garis regresi

b = −20/10 = −2
a = 21.8 − (−2)·3 = 27.8
ŷ = 27.8 − 2·x

Nilai ramalan

ŷ = 27.8 + (−2)·4.5 = 18.8

Reja

e = 21 − 18.8 = 2.2

Jawapan

e = 2.2

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1