Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 52, 38, 57, 47, 47, 35.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 60 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 66.

μ = 60σ = 15x = 66

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 4 bebola merah dan 5 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

4 / 5

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 10 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 10p = 0.5k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 250.25 dan 252.5 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 250.25x₂ = 252.5

P =

6.Taburan normalSukar

Masa pusingan pelari A X dan masa pusingan pelari B Y adalah tak bersandar dan normal: X mempunyai min 52 s dan sisihan piawai 4 s, Y mempunyai min 48 s dan sisihan piawai 3 s. Cari kebarangkalian P bahawa X lebih besar daripada Y. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 item mempunyai min 30 dan sisihan piawai s = 16.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 16x̄ = 30s = 16.599%t(15) = 2.947

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Tiada apa-apa yang diketahui terlebih dahulu tentang perkadaran produk cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?

p = 0.5E = 0.0195%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 25. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 124.5. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ ≠ 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 25n = 100x̄ = 124.5H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Satu sampel 25 ukuran mempunyai min 118.8. Sisihan piawai populasi ialah 10. Cari had bawah L selang keyakinan 99% bagi min.

x̄ = 118.8σ = 10n = 2599%

L =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 21Σy = 118Σx² = 91Σy² = 2446Σxy = 367

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 9.

n = 6x = 9

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 8.295

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 276/6 = 46

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 6² + (−8)² + 11² + 1² + 1² + (−11)² = 344

Sisihan piawai

s = √(344/5) = 8.295

Jawapan

s = 8.295

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 0.4

Piawaikan

z = (66 − 60)/15 = 0.4

Jawapan

z = 0.4

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.1667

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 4/9 · 3/8 = 12/72 = 0.1667

Jawapan

P = 0.1667

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.04395

Formula binomial

P(X = 2) = 45·0.5²·0.5⁸ = 45·0.25·0.003906 = 0.04395

Jawapan

P = 0.04395

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1715

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (250.25 − 250)/5 = 0.05

z₂ = (252.5 − 250)/5 = 0.5

Luas antara

P = Φ(0.5) − Φ(0.05) = 0.6915 − 0.5199 = 0.1715

Jawapan

P = 0.1715

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7881

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Piawaikan

z = (0 − 4)/5 = −0.8

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

Jawapan

P = 0.7881

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 42.16

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 15, t = 2.947

Margin ralat

E = 2.947·16.5/√16 = 12.16

Selang

30 ± 12.16 → [17.84, 42.16]

Jawapan

had atas = 42.16

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

Bundarkan ke atas

n = 9604

Jawapan

n = 9604

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.07186

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5

z = (124.5 − 120)/2.5 = 1.8

Luas ekor

Φ(1.8) = 0.9641

1 − Φ(1.8) = 0.0359

Nilai-p

p = 2·0.0359 = 0.07186

Jawapan

p = 0.07186

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: L = 113.6

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Margin ralat

E = 2.576·10/√25 = 5.152

Had selang

L = 118.8 − 5.152 = 113.6

Jawapan

L = 113.6

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = −0.9822

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 367 − 21·118/6 = −46

S_xx = 91 − 21²/6 = 17.5

S_yy = 2446 − 118²/6 = 125.3

Pekali korelasi

r = −46/√(17.5·125.3) = −0.9822

Jawapan

r = −0.9822

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 28.71

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 138/6 = 23

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

Garis regresi

b = 200/70 = 2.857

a = 23 − 2.857·7 = 3

ŷ = 3 + 2.857·x

Ramalan

ŷ = 3 + 2.857·9 = 28.71

Jawapan

ŷ = 28.71

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1