Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 39, 42, 33, 54, 45, 20.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di bawah 76?

μ = 100σ = 12x = 76

P =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.35, 0.1, 0.2, 0.25, 0.1

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 11 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.3, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 4 jawapan betul?

n = 11p = 0.3k = 4

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 164 dan 183.6 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 183.6

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 95% daripadanya (persentil ke-95).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 13 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −0.6 dan sisihan piawai 0.9. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 13d̄ = −0.6s_d = 0.995%t(12) = 2.179

E = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 26. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 26E = 195%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 30 bahagian mempunyai min panjang 148.5 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 19 mm. Talian 2: sampel 100 bahagian mempunyai min 154 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).

n₁ = 30x̄₁ = 148.5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 100x̄₂ = 154 mmσ₂ = 18 mm

z =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 3. Pada hakikatnya min ialah 79.5. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 79.5σ = 3n = 36α = 0.05

β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 6Σx = 42Σy = 528Σx² = 364Σy² = 49920Σxy = 4186

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 70?

n = 6ŷ = 70

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 11.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 233/6 = 38.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.1667² + 3.167² + (−5.833)² + 15.17² + 6.167² + (−18.83)² = 666.8

Sisihan piawai

s = √(666.8/5) = 11.55

Jawapan

s = 11.55

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.02275

Piawaikan

z = −2

Jadual normal piawai

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

Jawapan

P = 0.02275

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 2.027

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.1 + 3·0.2 + 4·0.25 + 5·0.1 = 2.65

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.1 + 9·0.2 + 16·0.25 + 25·0.1 = 9.05

Varians

Var(X) = 9.05 − 2.65² = 2.027

Jawapan

Var(X) = 2.027

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.2201

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 4) = 330·0.3⁴·0.7⁷ = 330·0.0081·0.08235 = 0.2201

Jawapan

P = 0.2201

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7654

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (183.6 − 178)/7 = 0.8

Luas antara

P = Φ(0.8) − Φ(−2) = 0.7881 − 0.02275 = 0.7654

Jawapan

P = 0.7654

6.Taburan normal

Jawapan: x = 124.7 markah

z untuk persentil

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

Kembali kepada x

x = 100 + 1.645·15 = 124.67 markah

Jawapan

x = 124.67 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 0.5439 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 12, t = 2.179

Margin ralat

E = 2.179·0.9/√13 = 0.5439

Jawapan

E = 0.5439 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 2597

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (1.96·26/1)² = 2597

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 2597

Jawapan

n = 2597

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.407

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Ralat piawai bagi beza

SE = √(19²/30 + 18²/100) = √15.27 = 3.908

Statistik ujian

z = (148.5 − 154)/3.908 = −1.407

Jawapan

z = −1.407

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 74.05 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 3/√36 = 0.5

x̄_c = 80 − 1.645·0.5 = 79.18

z di bawah min sebenar

z = (79.18 − 79.5)/0.5 = −0.645

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < −0.645) = 25.95%

β = 100% − 25.95% = 74.05%

Jawapan

β = 74.05%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9962

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 4186 − 42·528/6 = 490

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 49920 − 528²/6 = 3456

Pekali korelasi

r = 490/√(70·3456) = 0.9962

Jawapan

r = 0.9962

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.656

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 413/6 = 68.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 130.5

Garis regresi

b = 130.5/17.5 = 7.457

a = 68.83 − 7.457·4.5 = 35.28

ŷ = 35.28 + 7.457·x

Selesaikan untuk x

x = (70 − 35.28)/7.457 = 4.656

Jawapan

x = 4.656

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1