Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
1520253035404550

Cari sisihan piawai sampel s data: 43, 41, 31, 26, 15, 51.

n = 6
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Cari skor-z z bagi skor 470.

μ = 500σ = 60x = 470
z =
3.KebarangkalianSederhana
xp(x)10.320.2530.240.250.05μ = 2.45

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.25, 0.2, 0.2, 0.05
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
n = 6, p = 0.6: P(X ≤ 1) = ?k0123456

6 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.6, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 6p = 0.6
P =
5.Taburan normalSederhana
−3−2−10123zluas berlorek di sebelah kanan z = 0.9732

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.9732. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.9732
z =
6.Taburan normalSukar
μ = 32x = ?97.5%

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 32σ = 6P = 97.5%
x = min
7.Selang keyakinanSederhana
n = 20, sd​ = 3.10LUd̄ = −7.4E = ?99%

Tekanan darah 20 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −7.4 dan sisihan piawai 3.1. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk min beza.

n = 20d̄ = −7.4sd = 3.199%t(19) = 2.861
E = mmHg
8.Selang keyakinanSukar
n = 16σ = ?Us = 9.395%

Diameter 16 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 9.3 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 15, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 6.262 dan 2.5% terletak di atas 27.488.

n = 16s = 9.3 µmχ² = 6.262, 27.488
σ = µm
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −1.98401.984

Satu sampel 100 pelajar mempunyai skor min 497.8 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497.8s = 10n = 100
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
σ = 4, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2.5? Sisihan piawai ialah 4. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 4E = 2.590%
n =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy1710719112211222312925144xy2025120140

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy15701777198621842310125103xy15202580100x = 18

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (18, 75) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(18, 75)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.05

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 207/6 = 34.5

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 8.5² + 6.5² + (−3.5)² + (−8.5)² + (−19.5)² + 16.5² = 851.5

Sisihan piawai

s = √(851.5/5) = 13.05

Jawapan

s = 13.05
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (470 − 500)/60 = −0.5

Jawapan

z = −0.5
3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 1.547

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.3 + 2·0.25 + 3·0.2 + 4·0.2 + 5·0.05 = 2.45

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.3 + 4·0.25 + 9·0.2 + 16·0.2 + 25·0.05 = 7.55

Varians

Var(X) = 7.55 − 2.45² = 1.547

Jawapan

Var(X) = 1.547
4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.04096

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.46 = 0.004096
P(X = 1) = 6·0.6·0.45 = 0.03686

Tambahkannya

P = 0.004096 + 0.03686 = 0.04096

Jawapan

P = 0.04096
5.Taburan normal

Jawapan: z = −1.93

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.9732 = 0.0268

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.0268 di dalam jadual dan baca z.

z = −1.93

Jawapan

z = −1.93
6.Taburan normal

Jawapan: x = 43.76 min

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 32 + 1.96·6 = 43.76 min

Jawapan

x = 43.76 min
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 1.983 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 19, t = 2.861

Margin ralat

E = 2.861·3.1/√20 = 1.983

Jawapan

E = 1.983 mmHg
8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 6.87 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 15·9.3² = 1297

Had bagi σ²

1297/27.488 = 47.2
1297/6.262 = 207.2

Had bagi σ

σ = √47.2 = 6.87 µm

Jawapan

σ = 6.87 µm

Selang 95% bagi σ: [6.87, 14.39] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.2

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Statistik ujian

t = (497.8 − 500)/1 = −2.2

Jawapan

t = −2.2
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| > 1.984, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (1.645·4/2.5)² = 6.927

Bundarkan ke atas

n = 7

Jawapan

n = 7
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9688

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 105/5 = 21
ȳ = 614/5 = 122.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 182
Syy = Σ(y − ȳ)² = 854.8

Pekali penentuan

r² = 182²/(40·854.8) = 0.9688

Jawapan

r² = 0.9688

Kira-kira 96.88% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −5.119

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 521/6 = 86.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 235

Garis regresi

b = 235/70 = 3.357
a = 86.83 − 3.357·20 = 19.69
ŷ = 19.69 + 3.357·x

Nilai ramalan

ŷ = 19.69 + 3.357·18 = 80.12

Reja

e = 75 − 80.12 = −5.119

Jawapan

e = −5.119

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1