Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharuKembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min
x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median
nilai tengah data yang tersusun
Skor-z
z = (x − μ)/σ
Taburan normal
68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap
P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Taburan normal

Skor-z
z = (x − μ)/σ
Di bawah x
P(X < x) = Φ(z)
Di atas x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara
Φ(z2) − Φ(z1)
Persentil
x = μ + z·σ

Kaedah

  1. Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
  2. Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
  3. Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
  4. Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui
x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel
n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

  1. Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
  2. Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
  3. Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
  4. Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%
tolak H0 jika |z| > 1.96
Selang keyakinan
x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

  1. Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
  2. Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
  3. Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
  4. Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan
b = Sxy/Sxx
Pintasan
a = ȳ − b·x̄
Korelasi
r = Sxy/√(SxxSyy)
Reja
e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana
25303540455055

Cari sisihan piawai sampel s data: 35, 56, 36, 24, 23.

n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
z −2−1012

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 66.

μ = 70σ = 5x = 66
z =
3.KebarangkalianSederhana
n = 9k = 3N = ?

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 3 orang boleh dipilih daripada kumpulan 9? Susunan tidak penting.

n = 9k = 3
N =
4.KebarangkalianSukar
xp(x)00.220.340.3560.15μ

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 3X + 5. Cari sisihan piawai σY bagi Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.35, 0.15Y = 3X + 5
σY =
5.Taburan normalSederhana
1360 kg1288 kgT = X₁ + … + X₁₆?

Jisim penumpang dengan bagasi adalah tak bersandar dan normal dengan min 85 kg dan sisihan piawai 12 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 16 daripadanya melebihi 1288 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1288 kg
P =
6.Taburan normalSukar
μ = 100x = ?75%

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 75% daripadanya (persentil ke-75).

μ = 100σ = 15P = 75%
x = markah
7.Selang keyakinanSederhana
n = 13, s = 9.5LUx̄ = 53E = ?95%

Satu sampel 13 item mempunyai min 53 dan sisihan piawai s = 9.5. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 13x̄ = 53s = 9.595%t(12) = 2.179
E =
8.Selang keyakinanSukar
μ₁ − μ₂, t(15) = 2.1310LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 55 kg, sisihan piawai 5 kg. Kumpulan petak 2: 11 petak, min 54.5 kg, sisihan piawai 3 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 55s₁ = 5n₂ = 11x̄₂ = 54.5s₂ = 395%t(15) = 2.131
had atas = kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
t −2.01102.011

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 194.4 dan sisihan piawai sampel 15. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 194.4s = 15n = 49
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
μ₀x̄c

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ < 80 dijalankan pada α = 0.10 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 30. Pada hakikatnya min ialah 73.1. Cari kebarangkalian ralat Jenis II β dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 73.1σ = 30n = 100α = 0.10
β = %
11.Regresi linear & korelasiSederhana
xy1891209922113241322614328147xy2025100120140

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
xy156257361465564675xy2466070x = 5.5

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 68) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(5.5, 68)
e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.29

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 174/5 = 34.8

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 0.2² + 21.2² + 1.2² + (−10.8)² + (−11.8)² = 706.8

Sisihan piawai

s = √(706.8/4) = 13.29

Jawapan

s = 13.29
2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.8

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Piawaikan

z = (66 − 70)/5 = −0.8

Jawapan

z = −0.8
3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 84

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

Jawapan

N = 84
4.Kebarangkalian

Jawapan: σY = 5.84

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 2.9, Var(X) = 3.79, σX = 1.947

Perubahan linear

σY = |3|·1.947 = 5.84

Jawapan

σY = 5.84

Min memang berubah: E(Y) = 3·2.9 + 5 = 13.7.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9332

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg

Piawaikan

z = (1288 − 1360)/48 = −1.5

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332

Jawapan

P = 0.9332
6.Taburan normal

Jawapan: x = 110.1 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

Kembali kepada x

x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 markah

Jawapan

x = 110.12 markah
7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 5.741

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 12, t = 2.179

Margin ralat

E = 2.179·9.5/√13 = 5.741

Jawapan

E = 5.741
8.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 4.595 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

sp² = (5·5² + 10·3²)/15 = 14.33
sp = 3.786

Margin ralat

E = 2.131·3.786·√(1/6 + 1/11) = 4.095

Selang

0.5 ± 4.095 → [−3.595, 4.595]

Jawapan

had atas = 4.595 kg
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.613

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

Statistik ujian

t = (194.4 − 200)/2.143 = −2.613

Jawapan

t = −2.613
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: β = 15.43 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 80 − 1.282·3 = 76.15

z di bawah min sebenar

z = (76.15 − 73.1)/3 = 1.018

Ralat Jenis II

kuasa = P(Z < 1.018) = 84.57%
β = 100% − 84.57% = 15.43%

Jawapan

β = 15.43%
11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9725

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 138/6 = 23
ȳ = 725/6 = 120.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 431
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2729

Pekali penentuan

r² = 431²/(70·2729) = 0.9725

Jawapan

r² = 0.9725

Kira-kira 97.25% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = −1.857

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 21/6 = 3.5
ȳ = 378/6 = 63

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60

Garis regresi

b = 60/17.5 = 3.429
a = 63 − 3.429·3.5 = 51
ŷ = 51 + 3.429·x

Nilai ramalan

ŷ = 51 + 3.429·5.5 = 69.86

Reja

e = 68 − 69.86 = −1.857

Jawapan

e = −1.857

Titik itu terletak di bawah garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1