Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 45, 57, 47, 10, 49, 20.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 74.8?

μ = 70σ = 8x = 74.8

P =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 2 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 2

P =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Berapakah pecahan yang terletak antara 88 dan 103.75 markah? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 100σ = 15x₁ = 88x₂ = 103.75

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.03 mm dan sisihan piawai 0.015 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 50 telefon, min 115 j, sisihan piawai diketahui 12 j. Model 2: 30 telefon, min 112.5 j, sisihan piawai diketahui 15 j. Cari had atas selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 50x̄₁ = 115 hσ₁ = 12 hn₂ = 30x̄₂ = 112.5 hσ₂ = 15 h95%

had atas = h

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 40. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1?

σ = 40E = 199%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 49 pelajar mempunyai skor min 120.8 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120.8s = 8n = 49

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 150 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 112 daripada 250 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 150n₁ = 250x₂ = 112n₂ = 250

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3, 10) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(3, 10)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 228/6 = 38

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 7² + 19² + 9² + (−28)² + 11² + (−18)² = 1720

Sisihan piawai

s = √(1720/5) = 18.55

Jawapan

s = 18.55

2.Statistik perihalan

Jawapan: P = 0.2743

Piawaikan

z = 0.6

Jadual normal piawai

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

Jawapan

P = 0.2743

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3056

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

Jawapan

P = 0.3056

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 4.023

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

Perubahan linear

σ_Y = |5|·0.8047 = 4.023

Jawapan

σ_Y = 4.023

Min memang berubah: E(Y) = 5·0.95 + 5 = 9.75.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.3869

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (88 − 100)/15 = −0.8

z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25

Luas antara

P = Φ(0.25) − Φ(−0.8) = 0.5987 − 0.2119 = 0.3869

Jawapan

P = 0.3869

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.8849

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

Jawapan

P = 0.8849

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 8.815 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Anggaran titik

x̄₁ − x̄₂ = 115 − 112.5 = 2.5

Ralat piawai

SE = √(12²/50 + 15²/30) = 3.222

Margin ralat

E = 1.96·3.222 = 6.315

Selang

2.5 ± 6.315 → [−3.815, 8.815]

Jawapan

had atas = 8.815 h

Selang itu mengandungi 0, maka data tidak menunjukkan beza yang signifikan.

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 10618

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = (2.576·40/1)² = 10617

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 10618

Jawapan

n = 10618

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 0.7

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√49 = 8/7 = 1.143

Statistik ujian

t = (120.8 − 120)/1.143 = 0.7

Jawapan

t = 0.7

t_{0.025; df = 48} = 2.011

|t| < 2.011, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = 3.403

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 150/250 = 0.6

p̂₂ = 112/250 = 0.448

p̂ = 262/500 = 0.524

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.524·0.476·(1/250 + 1/250)) = 0.04467

Statistik ujian

z = (0.6 − 0.448)/0.04467 = 3.403

Jawapan

z = 3.403

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9871

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 141/6 = 23.5

ȳ = 611/6 = 101.8

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 769.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3809

Pekali penentuan

r² = 769.5²/(157.5·3809) = 0.9871

Jawapan

r² = 0.9871

Kira-kira 98.71% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 2.952

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 104/6 = 17.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

Garis regresi

b = 180/70 = 2.571

a = 17.33 − 2.571·7 = −0.6667

ŷ = −0.6667 + 2.571·x

Nilai ramalan

ŷ = −0.6667 + 2.571·3 = 7.048

Reja

e = 10 − 7.048 = 2.952

Jawapan

e = 2.952

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1