Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 38, 59, 19, 17, 43, 11, 12.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 40. Cari skor-z z bagi skor 550.

μ = 500σ = 40x = 550

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.15, 0.3, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

Satu ujian mempunyai 5 soalan aneka pilihan. Seorang pelajar yang meneka mendapat setiap satu betul dengan kebarangkalian 0.5, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P tepat 2 jawapan betul?

n = 5p = 0.5k = 2

P =

5.Taburan normalSederhana

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Berapakah pecahan yang terletak antara 164 dan 183.95 cm? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 183.95

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 70% terbawah yang berlorek berada di sebelah kirinya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 15 item mempunyai min 106.5 dan sisihan piawai s = 19.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 15x̄ = 106.5s = 19.599%t(14) = 2.977

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 8. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5?

σ = 8E = 0.590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 36 pelajar mempunyai skor min 202.8 dan sisihan piawai sampel 8. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202.8s = 8n = 36

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 90 daripada 200 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 65 daripada 120 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 90n₁ = 200x₂ = 65n₂ = 120

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (5.5, 21) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(5.5, 21)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.4

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 199/7 = 28.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 9.571² + 30.57² + (−9.429)² + (−11.43)² + 14.57² + (−17.43)² + (−16.43)² = 2032

Sisihan piawai

s = √(2032/6) = 18.4

Jawapan

s = 18.4

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 1.25

Piawaikan

z = (550 − 500)/40 = 1.25

Jawapan

z = 1.25

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.122

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 1·0.15 + 2·0.3 + 3·0.35 = 1.8

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.15 + 4·0.3 + 9·0.35 = 4.5

Varians

Var(X) = 4.5 − 1.8² = 1.26

σ = √1.26 = 1.122

Jawapan

σ = 1.122

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3125

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Formula binomial

P(X = 2) = 10·0.5²·0.5³ = 10·0.25·0.125 = 0.3125

Jawapan

P = 0.3125

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.7796

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (183.95 − 178)/7 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−2) = 0.8023 − 0.02275 = 0.7796

Jawapan

P = 0.7796

6.Taburan normal

Jawapan: x = 181.6 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.7

z daripada jadual

z ≈ 0.52

Kembali kepada unit asal

x = 178 + 0.52·7 = 181.6 cm

Jawapan

x = 181.6 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 121.5

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 14, t = 2.977

Margin ralat

E = 2.977·19.5/√15 = 14.99

Selang

106.5 ± 14.99 → [91.51, 121.5]

Jawapan

had atas = 121.5

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 693

Selesaikan untuk n

n = (1.645·8/0.5)² = 692.7

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 693

Jawapan

n = 693

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

Statistik ujian

t = (202.8 − 200)/1.333 = 2.1

Jawapan

t = 2.1

t_{0.025; df = 35} = 2.03

|t| > 2.03, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.588

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 90/200 = 0.45

p̂₂ = 65/120 = 0.5417

p̂ = 155/320 = 0.4844

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.4844·0.5156·(1/200 + 1/120)) = 0.05771

Statistik ujian

z = (0.45 − 0.5417)/0.05771 = −1.588

Jawapan

z = −1.588

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9908

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 361/5 = 72.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 718.8

Pekali korelasi

r = 168/√(40·718.8) = 0.9908

Jawapan

r = 0.9908

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.905

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 124/6 = 20.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40

Garis regresi

b = −40/17.5 = −2.286

a = 20.67 − (−2.286)·3.5 = 28.67

ŷ = 28.67 − 2.286·x

Nilai ramalan

ŷ = 28.67 + (−2.286)·5.5 = 16.1

Reja

e = 21 − 16.1 = 4.905

Jawapan

e = 4.905

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1