Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 24, 17, 55, 43, 18, 46, 50.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 10. Cari skor-z z bagi skor 120.

μ = 100σ = 10x = 120

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.35, 0.15

σ =

4.KebarangkalianSukar

10 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.2, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 10p = 0.2

P =

5.Taburan normalSederhana

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Berapakah pecahan yang terletak antara 468 dan 582 h? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 500σ = 40x₁ = 468x₂ = 582

P =

6.Taburan normalSukar

Diameter lubang D adalah normal dengan min 25.05 mm dan sisihan piawai 0.01 mm. Diameter aci d adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 mm dan sisihan piawai 0.02 mm. Aci yang dipilih secara rawak muat apabila D − d > 0. Cari kebarangkalian P bahawa ia muat. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

lubang: μ = 25.05 mm, σ = 0.01 mmaci: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 12 item mempunyai min 93.5 dan sisihan piawai s = 15. Populasi lebih kurang normal. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min.

n = 12x̄ = 93.5s = 1595%t(11) = 2.201

E =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 7 petak, min hasil 63 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Kumpulan petak 2: 10 petak, min 57 kg, sisihan piawai 10 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 7x̄₁ = 63s₁ = 9.5n₂ = 10x̄₂ = 57s₂ = 1099%t(15) = 2.947

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Dua kaedah pengajaran dibandingkan. Kumpulan 1: 6 pelajar, skor min 21.5, sisihan piawai 9.5. Kumpulan 2: 11 pelajar, skor min 28.8, sisihan piawai 5. Andaikan varians populasi sama dan gunakan ujian t dua sampel terkumpul. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (kumpulan 1 tolak kumpulan 2).

n₁ = 6x̄₁ = 21.5s₁ = 9.5n₂ = 11x̄₂ = 28.8s₂ = 5

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 500 terhadap H₁: μ < 500 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 36; sisihan piawai diketahui ialah 3. Pada hakikatnya min ialah 499. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 500μ = 499σ = 3n = 36α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 6

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 13?

n = 6ŷ = 13

x =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.99

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 253/7 = 36.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−12.14)² + (−19.14)² + 18.86² + 6.857² + (−18.14)² + 9.857² + 13.86² = 1535

Sisihan piawai

s = √(1535/6) = 15.99

Jawapan

s = 15.99

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Piawaikan

z = (120 − 100)/10 = 2

Jawapan

z = 2

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.1

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.35 + 2·0.15 + 3·0.35 + 4·0.15 = 2.3

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.15 + 9·0.35 + 16·0.15 = 6.5

Varians

Var(X) = 6.5 − 2.3² = 1.21

σ = √1.21 = 1.1

Jawapan

σ = 1.1

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.3758

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.8¹⁰ = 0.1074

P(X = 1) = 10·0.2·0.8⁹ = 0.2684

Tambahkannya

P = 0.1074 + 0.2684 = 0.3758

Jawapan

P = 0.3758

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.768

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (468 − 500)/40 = −0.8

z₂ = (582 − 500)/40 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−0.8) = 0.9798 − 0.2119 = 0.768

Jawapan

P = 0.768

6.Taburan normal

Jawapan: P = 0.9875

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan beza

μ = 25.05 − 25 = 0.05 mm, σ = 0.02236 mm

Piawaikan

z = (0 − 0.05)/0.02236 = −2.24

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(−2.24) = 0.9875

Jawapan

P = 0.9875

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 9.531

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 11, t = 2.201

Margin ralat

E = 2.201·15/√12 = 9.531

Jawapan

E = 9.531

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 14.24 kg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (6·9.5² + 9·10²)/15 = 96.1

s_p = 9.803

Margin ralat

E = 2.947·9.803·√(1/7 + 1/10) = 14.24

Jawapan

E = 14.24 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −2.104

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Varians terkumpul

s_p² = (5·9.5² + 10·5²)/15 = 46.75

s_p = 6.837

Ralat piawai

SE = 6.837·√(1/6 + 1/11) = 3.47

Statistik ujian

t = (21.5 − 28.8)/3.47 = −2.104

Jawapan

t = −2.104

Dengan df = 15, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.131; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 63.87 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 3/√36 = 0.5

x̄_c = 500 − 1.645·0.5 = 499.2

z di bawah min sebenar

z = (499.2 − 499)/0.5 = 0.355

Kuasa

kuasa = P(Z < 0.355) = 63.87%

1 − β = 63.87%

Jawapan

1 − β = 63.87%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.8536

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 187/6 = 31.17

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 35.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 98.83

Pekali korelasi

r = 35.5/√(17.5·98.83) = 0.8536

Jawapan

r = 0.8536

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: x = 4.544

Min

x̄ = 21/6 = 3.5

ȳ = 95/6 = 15.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −47.5

Garis regresi

b = −47.5/17.5 = −2.714

a = 15.83 − (−2.714)·3.5 = 25.33

ŷ = 25.33 − 2.714·x

Selesaikan untuk x

x = (13 − 25.33)/(−2.714) = 4.544

Jawapan

x = 4.544

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1