Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 32, 58, 23, 57, 47, 24, 28.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 25. Cari skor-z z bagi skor 470.

μ = 500σ = 25x = 470

z =

3.KebarangkalianSederhana

Satu dadu adil digolek 5 kali. Berapakah kebarangkalian P mendapat sekurang-kurangnya satu enam?

n = 5

P =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €1 untuk dimain. Anda menang €2 dengan kebarangkalian 0.2 dan €50 dengan kebarangkalian 0.02; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €1€2: p = 0.2€50: p = 0.02

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

Seret z supaya luas berlorek di bawah lengkung normal piawai, di sebelah kanan z, ialah 0.8051. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.

A = 0.8051

z =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 97.5% daripadanya (persentil ke-97.5).

μ = 178σ = 7P = 97.5%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 11 item mempunyai min 89.5 dan sisihan piawai s = 3.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 90% untuk min.

n = 11x̄ = 89.5s = 3.590%t(10) = 1.812

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 17.5 kg, sisihan piawai 3 kg. Kumpulan petak 2: 6 petak, min 24.5 kg, sisihan piawai 7.5 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 17.5s₁ = 3n₂ = 6x̄₂ = 24.5s₂ = 7.595%t(10) = 2.228

E = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

12 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 4.85 dan sisihan piawai beza ialah 8. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 4.85s_d = 8

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi pada α = 0.01 mesti mengesan anjakan min sebanyak 1.5 unit dengan kuasa 90%. Sisihan piawai ialah 11. Cari saiz sampel minimum n.

α = 0.01kuasa = 90%δ = 1.5σ = 11z_α = 2.326z_β = 1.282

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 8.

n = 6x = 8

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 15.26

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 269/7 = 38.43

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−6.429)² + 19.57² + (−15.43)² + 18.57² + 8.571² + (−14.43)² + (−10.43)² = 1398

Sisihan piawai

s = √(1398/6) = 15.26

Jawapan

s = 15.26

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1.2

Piawaikan

z = (470 − 500)/25 = −1.2

Jawapan

z = −1.2

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.5981

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pelengkap

P(tiada enam) = (5/6)⁵ = 0.4019

P = 1 − 0.4019 = 0.5981

Jawapan

P = 0.5981

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.4 €

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Hasil bersih

G: 1 (p = 0.2), 49 (p = 0.02), −1 (p = 0.78)

Nilai jangkaan

E(G) = 1·0.2 + 49·0.02 − 1·0.78 = 0.4 €

Jawapan

E(G) = 0.4 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: z = −0.86

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri z

Φ(z) = 1 − 0.8051 = 0.1949

Baca jadual-z secara terbalik

Cari 0.1949 di dalam jadual dan baca z.

z = −0.86

Jawapan

z = −0.86

6.Taburan normal

Jawapan: x = 191.7 cm

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

Kembali kepada x

x = 178 + 1.96·7 = 191.72 cm

Jawapan

x = 191.72 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 87.59

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 10, t = 1.812

Margin ralat

E = 1.812·3.5/√11 = 1.912

Selang

89.5 ± 1.912 → [87.59, 91.41]

Jawapan

had bawah = 87.59

8.Selang keyakinan

Jawapan: E = 7.347 kg

Selang bagi suatu beza: anggaran ± nilai genting × ralat piawai. Bagi dua min bebas dengan σ diketahui: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) dan z. Dengan varians sama yang tidak diketahui: s_p terkumpul dan t dengan darjah kebebasan n₁ + n₂ − 2. Bagi data berpasangan, kerjakan pada beza: d̄ ± t·s_d/√n.

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (5·3² + 5·7.5²)/10 = 32.63

s_p = 5.712

Margin ralat

E = 2.228·5.712·√(1/6 + 1/6) = 7.347

Jawapan

E = 7.347 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 2.1

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 8/√12 = 2.309

Statistik ujian

t = 4.85/2.309 = 2.1

Jawapan

t = 2.1

Dengan df = 11, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.201; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 701

Saiz sampel untuk ujian: untuk mengesan anjakan benar δ dengan kuasa 1 − β dalam ujian z satu sisi pada aras α, ralat piawai mesti memenuhi δ = (z_α + z_β)·σ/√n, maka n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², dibundarkan ke atas.

Selesaikan untuk n

n = ((2.326 + 1.282)·11/1.5)² = 700.1

Bundarkan ke atas

n = 701

Jawapan

n = 701

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9422

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 435/5 = 87

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 918

Pekali penentuan

r² = 186²/(40·918) = 0.9422

Jawapan

r² = 0.9422

Kira-kira 94.22% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 74.33

Min

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 446/6 = 74.33

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 304

Garis regresi

b = 304/70 = 4.343

a = 74.33 − 4.343·8 = 39.59

ŷ = 39.59 + 4.343·x

Ramalan

ŷ = 39.59 + 4.343·8 = 74.33

Jawapan

ŷ = 74.33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1