Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 16, 44, 27, 31, 21, 27.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 34.

μ = 50σ = 8x = 34

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.2, 0.3, 0.25, 0.25

Var(X) =

4.KebarangkalianSukar

Satu permainan berharga €5 untuk dimain. Anda menang €10 dengan kebarangkalian 0.3 dan €50 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.

pertaruhan = €5€10: p = 0.3€50: p = 0.05

E(G) = €

5.Taburan normalSederhana

berat beg bertaburan normal dengan min 250 g dan sisihan piawai 5 g. Berapakah pecahan yang terletak antara 245 dan 255 g? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 250σ = 5x₁ = 245x₂ = 255

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 7 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min −5.4 dan sisihan piawai 0.5. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 7d̄ = −5.4s_d = 0.595%t(6) = 2.447

E = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Dua baja diuji. Kumpulan petak 1: 6 petak, min hasil 40.5 kg, sisihan piawai 9.5 kg. Kumpulan petak 2: 8 petak, min 31 kg, sisihan piawai 10 kg. Andaikan varians sama (t terkumpul, df = n₁ + n₂ − 2). Cari had bawah selang keyakinan 99% untuk μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 40.5s₁ = 9.5n₂ = 8x̄₂ = 31s₂ = 1099%t(12) = 3.055

had bawah = kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 16 pelajar mempunyai skor min 70.8 dan sisihan piawai sampel 12. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 70.8s = 12n = 16

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 80 terhadap H₁: μ > 80 dijalankan pada α = 0.05 dengan sampel 100; sisihan piawai diketahui ialah 20. Pada hakikatnya min ialah 82.6. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 80μ = 82.6σ = 20n = 100α = 0.05

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 2.

n = 5x = 2

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 9.585

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 166/6 = 27.67

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−11.67)² + 16.33² + (−0.6667)² + 3.333² + (−6.667)² + (−0.6667)² = 459.3

Sisihan piawai

s = √(459.3/5) = 9.585

Jawapan

s = 9.585

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (34 − 50)/8 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: Var(X) = 4.59

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 0·0.2 + 2·0.3 + 4·0.25 + 6·0.25 = 3.1

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 0·0.2 + 4·0.3 + 16·0.25 + 36·0.25 = 14.2

Varians

Var(X) = 14.2 − 3.1² = 4.59

Jawapan

Var(X) = 4.59

4.Kebarangkalian

Jawapan: E(G) = 0.5 €

Hasil bersih

G: 5 (p = 0.3), 45 (p = 0.05), −5 (p = 0.65)

Nilai jangkaan

E(G) = 5·0.3 + 45·0.05 − 5·0.65 = 0.5 €

Jawapan

E(G) = 0.5 €

Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6827

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (245 − 250)/5 = −1

z₂ = (255 − 250)/5 = 1

Luas antara

P = Φ(1) − Φ(−1) = 0.8413 − 0.1587 = 0.6827

Jawapan

P = 0.6827

6.Taburan normal

Jawapan: x = 434.2 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

Kembali kepada x

x = 500 + −1.645·40 = 434.2 h

Jawapan

x = 434.2 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 0.4624 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 6, t = 2.447

Margin ralat

E = 2.447·0.5/√7 = 0.4624

Jawapan

E = 0.4624 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = −6.66 kg

Sisihan piawai terkumpul

s_p² = (5·9.5² + 7·10²)/12 = 95.94

s_p = 9.795

Margin ralat

E = 3.055·9.795·√(1/6 + 1/8) = 16.16

Selang

9.5 ± 16.16 → [−6.66, 25.66]

Jawapan

had bawah = −6.66 kg

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.4

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 12/√16 = 12/4 = 3

Statistik ujian

t = (70.8 − 75)/3 = −1.4

Jawapan

t = −1.4

t_{0.025; df = 15} = 2.131

|t| < 2.131, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 36.5 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 80 + 1.645·2 = 83.29

z di bawah min sebenar

z = (83.29 − 82.6)/2 = 0.345

Kuasa

kuasa = P(Z > 0.345) = 36.5%

1 − β = 36.5%

Jawapan

1 − β = 36.5%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.977

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 457/5 = 91.4

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1133

Pekali korelasi

r = 208/√(40·1133) = 0.977

Jawapan

r = 0.977

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 32.6

Min

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 193/5 = 38.6

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 80

Garis regresi

b = 80/40 = 2

a = 38.6 − 2·5 = 28.6

ŷ = 28.6 + 2·x

Ramalan

ŷ = 28.6 + 2·2 = 32.6

Jawapan

ŷ = 32.6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1