Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 20, 33, 57, 29, 32, 56, 26.

n = 7

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 8. Cari skor-z z bagi skor 66.

μ = 50σ = 8x = 66

z =

3.KebarangkalianSederhana

Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.05, 0.1, 0.3, 0.35

σ =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = 5X − 3. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.1, 0.25, 0.25, 0.15Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 26.3 dan 37.1 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 26.3x₂ = 37.1

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 80% daripadanya (persentil ke-80).

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 9 item mempunyai min 108.5 dan sisihan piawai s = 2. Populasi lebih kurang normal. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk min.

n = 9x̄ = 108.5s = 295%t(8) = 2.306

had bawah =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 15. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 90% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 2?

σ = 15E = 290%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Satu sampel 25 pelajar mempunyai skor min 498.2 dan sisihan piawai sampel 5. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 498.2s = 5n = 25

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Ujian z satu sisi bagi H₀: μ = 100 terhadap H₁: μ > 100 dijalankan pada α = 0.01 dengan sampel 64; sisihan piawai diketahui ialah 12. Pada hakikatnya min ialah 103.6. Cari kuasa 1 − β ujian itu dalam peratus.

μ₀ = 100μ = 103.6σ = 12n = 64α = 0.01

1 − β = %

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Hasil tambahnya diberikan. Cari pekali korelasi Pearson r daripada hasil tambah ini.

n = 5Σx = 20Σy = 258Σx² = 90Σy² = 13574Σxy = 1079

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 3.

n = 6x = 3

ŷ =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 14.55

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 253/7 = 36.14

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = (−16.14)² + (−3.143)² + 20.86² + (−7.143)² + (−4.143)² + 19.86² + (−10.14)² = 1271

Sisihan piawai

s = √(1271/6) = 14.55

Jawapan

s = 14.55

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = 2

Piawaikan

z = (66 − 50)/8 = 2

Jawapan

z = 2

3.Kebarangkalian

Jawapan: σ = 1.499

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Min

μ = 1·0.2 + 2·0.05 + 3·0.1 + 4·0.3 + 5·0.35 = 3.55

Min bagi kuasa dua

E(X²) = 1·0.2 + 4·0.05 + 9·0.1 + 16·0.3 + 25·0.35 = 14.85

Varians

Var(X) = 14.85 − 3.55² = 2.248

σ = √2.248 = 1.499

Jawapan

σ = 1.499

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 6.978

Serakan X

μ = 1.95, Var(X) = 1.947, σ_X = 1.396

Perubahan linear

σ_Y = |5|·1.396 = 6.978

Jawapan

σ_Y = 6.978

Min memang berubah: E(Y) = 5·1.95 − 3 = 6.75.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.6313

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (26.3 − 32)/6 = −0.95

z₂ = (37.1 − 32)/6 = 0.85

Luas antara

P = Φ(0.85) − Φ(−0.95) = 0.8023 − 0.1711 = 0.6313

Jawapan

P = 0.6313

6.Taburan normal

Jawapan: x = 533.7 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

Kembali kepada x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

Jawapan

x = 533.66 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had bawah = 107

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 8, t = 2.306

Margin ralat

E = 2.306·2/√9 = 1.537

Selang

108.5 ± 1.537 → [107, 110]

Jawapan

had bawah = 107

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 153

Selesaikan untuk n

n = (1.645·15/2)² = 152.2

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 153

Jawapan

n = 153

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = −1.8

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Ralat piawai

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Statistik ujian

t = (498.2 − 500)/1 = −1.8

Jawapan

t = −1.8

t_{0.025; df = 24} = 2.064

|t| < 2.064, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: 1 − β = 52.95 %

Kuasa ujian: kuasa = 1 − β ialah kebarangkalian menolak H₀ apabila ia salah. Cari nilai pemotongan x̄c daripada μ₀ dan z_α, kemudian hitung kebarangkalian jatuh melepasi x̄c menggunakan min sebenar: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Min sampel genting

SE = 12/√64 = 1.5

x̄_c = 100 + 2.326·1.5 = 103.5

z di bawah min sebenar

z = (103.5 − 103.6)/1.5 = −0.074

Kuasa

kuasa = P(Z > −0.074) = 52.95%

1 − β = 52.95%

Jawapan

1 − β = 52.95%

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9196

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Hasil tambah berpusat

S_xy = 1079 − 20·258/5 = 47

S_xx = 90 − 20²/5 = 10

S_yy = 13574 − 258²/5 = 261.2

Pekali korelasi

r = 47/√(10·261.2) = 0.9196

Jawapan

r = 0.9196

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: ŷ = 6.981

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 94/6 = 15.67

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Garis regresi

b = 152/70 = 2.171

a = 15.67 − 2.171·7 = 0.4667

ŷ = 0.4667 + 2.171·x

Ramalan

ŷ = 0.4667 + 2.171·3 = 6.981

Jawapan

ŷ = 6.981

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1