Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 54, 41, 60, 13, 18, 41.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 15. Cari skor-z z bagi skor 92.5.

μ = 100σ = 15x = 92.5

z =

3.KebarangkalianSederhana

Sebuah beg mengandungi 3 bebola merah dan 9 biru. Anda mengambil dua bebola tanpa memulangkan yang pertama. Berapakah kebarangkalian P kedua-duanya merah?

3 / 9

P =

4.KebarangkalianSukar

9 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.1, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 9p = 0.1

P =

5.Taburan normalSederhana

masa penghantaran bertaburan normal dengan min 32 min dan sisihan piawai 6 min. Berapakah pecahan yang terletak antara 27.2 dan 44.3 min? Berikan P sebagai perpuluhan.

μ = 32σ = 6x₁ = 27.2x₂ = 44.3

P =

6.Taburan normalSukar

hayat bateri bertaburan normal dengan min 500 h dan sisihan piawai 40 h. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 20% daripadanya (persentil ke-20).

μ = 500σ = 40P = 20%

x = h

7.Selang keyakinanSederhana

Satu sampel 30 item mempunyai min 92 dan sisihan piawai s = 10.5. Populasi lebih kurang normal. Cari had atas selang keyakinan 99% untuk min.

n = 30x̄ = 92s = 10.599%t(29) = 2.756

had atas =

8.Selang keyakinanSukar

Sisihan piawai populasi ialah 34. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 3?

σ = 34E = 399%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 120; sisihan piawai populasi diketahui ialah 12. Satu sampel rawak 144 cerapan mempunyai min 121.02. Uji H₀: μ = 120 terhadap H₁: μ > 120. Cari nilai-p p.

μ₀ = 120σ = 12n = 144x̄ = 121.02H₁: μ > μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 65 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 72 daripada 100 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 72n₂ = 100

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 6

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (3.5, 26) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 5(3.5, 26)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 18.88

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 227/6 = 37.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 16.17² + 3.167² + 22.17² + (−24.83)² + (−19.83)² + 3.167² = 1783

Sisihan piawai

s = √(1783/5) = 18.88

Jawapan

s = 18.88

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −0.5

Piawaikan

z = (92.5 − 100)/15 = −0.5

Jawapan

z = −0.5

3.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.04545

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Pengambilan pertama dan kedua

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0.04545

Jawapan

P = 0.04545

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.7748

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.9⁹ = 0.3874

P(X = 1) = 9·0.1·0.9⁸ = 0.3874

Tambahkannya

P = 0.3874 + 0.3874 = 0.7748

Jawapan

P = 0.7748

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.768

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

Skor-z

z₁ = (27.2 − 32)/6 = −0.8

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

Luas antara

P = Φ(2.05) − Φ(−0.8) = 0.9798 − 0.2119 = 0.768

Jawapan

P = 0.768

6.Taburan normal

Jawapan: x = 466.3 h

z untuk persentil

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

Kembali kepada x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

Jawapan

x = 466.34 h

7.Selang keyakinan

Jawapan: had atas = 97.28

Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.

Nilai genting

df = n − 1 = 29, t = 2.756

Margin ralat

E = 2.756·10.5/√30 = 5.283

Selang

92 ± 5.283 → [86.72, 97.28]

Jawapan

had atas = 97.28

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 853

Selesaikan untuk n

n = (2.576·34/3)² = 852.3

Bundarkan ke atas

Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.

n = 853

Jawapan

n = 853

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.1539

Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 12/√144 = 1

z = (121.02 − 120)/1 = 1.02

Luas ekor

Φ(1.02) = 0.8461

1 − Φ(1.02) = 0.1539

Nilai-p

p = 0.1539

Jawapan

p = 0.1539

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −1.066

Perkadaran sampel

p̂₁ = 65/100 = 0.65

p̂₂ = 72/100 = 0.72

p̂ = 137/200 = 0.685

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.685·0.315·(1/100 + 1/100)) = 0.06569

Statistik ujian

z = (0.65 − 0.72)/0.06569 = −1.066

Jawapan

z = −1.066

|z| < 1.96, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9712

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 27/6 = 4.5

ȳ = 347/6 = 57.83

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17.5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 88.5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 460.8

Pekali penentuan

r² = 88.5²/(17.5·460.8) = 0.9712

Jawapan

r² = 0.9712

Kira-kira 97.12% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.5

Min

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 111/5 = 22.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

Garis regresi

b = −14/10 = −1.4

a = 22.2 − (−1.4)·3 = 26.4

ŷ = 26.4 − 1.4·x

Nilai ramalan

ŷ = 26.4 + (−1.4)·3.5 = 21.5

Reja

e = 26 − 21.5 = 4.5

Jawapan

e = 4.5

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1