Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 23, 48, 46, 58, 51.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 50 dan sisihan piawai 5. Cari skor-z z bagi skor 60.
μ = 50σ = 5x = 60
z =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari varians Var(X) bagi X.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.2, 0.15, 0.3
Var(X) =
4.KebarangkalianSukar
Satu permainan berharga €10 untuk dimain. Anda menang €20 dengan kebarangkalian 0.2 dan €200 dengan kebarangkalian 0.05; jika tidak anda tidak menang apa-apa. Pertaruhan tidak dikembalikan. Cari jangkaan keuntungan bersih E(G) setiap permainan.
pertaruhan = €10€20: p = 0.2€200: p = 0.05
E(G) = €
5.Taburan normalSederhana
Seret z supaya luas berlorek antara −z dan z di bawah lengkung normal piawai ialah 0.9736. Cari z hingga dua tempat perpuluhan.
A = 0.9736
z =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 10% daripadanya (persentil ke-10).
μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Hayat bateri dua model telefon dibandingkan. Model 1: 30 telefon, min 148 j, sisihan piawai diketahui 10 j. Model 2: 40 telefon, min 158 j, sisihan piawai diketahui 13 j. Cari had bawah selang keyakinan 95% untuk μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 148 hσ₁ = 10 hn₂ = 40x̄₂ = 158 hσ₂ = 13 h95%
had bawah = h
8.Selang keyakinanSukar
Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.4 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 95% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.01?
p ≈ 0.4E = 0.0195%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Satu sampel 64 pelajar mempunyai skor min 100.9 dan sisihan piawai sampel 10. Cari statistik ujian t bagi H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 100.9s = 10n = 64
t =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 16 ukuran mempunyai min 497.6. Sisihan piawai populasi ialah 12. Cari had bawah L selang keyakinan 90% bagi min.
x̄ = 497.6σ = 12n = 1690%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = umur kereta dalam tahun dan y = harga dalam k€. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Untuk nilai x yang manakah garis meramalkan ŷ = 29?
n = 6ŷ = 29
x =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 13.22
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 226/5 = 45.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = (−22.2)² + 2.8² + 0.8² + 12.8² + 5.8² = 698.8
Sisihan piawai
s = √(698.8/4) = 13.22
Jawapan
s = 13.22
2.Statistik perihalan
Jawapan: z = 2
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = (60 − 50)/5 = 2
Jawapan
z = 2
3.Kebarangkalian
Jawapan: Var(X) = 1.54
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 1·0.35 + 2·0.2 + 3·0.15 + 4·0.3 = 2.4
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 1·0.35 + 4·0.2 + 9·0.15 + 16·0.3 = 7.3
Varians
Var(X) = 7.3 − 2.4² = 1.54
Jawapan
Var(X) = 1.54
4.Kebarangkalian
Jawapan: E(G) = 4 €
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Hasil bersih
G: 10 (p = 0.2), 190 (p = 0.05), −10 (p = 0.75)
Nilai jangkaan
E(G) = 10·0.2 + 190·0.05 − 10·0.75 = 4 €
Jawapan
E(G) = 4 €
Nilai positif bermaksud anda memperoleh wang secara purata.
5.Taburan normal
Jawapan: z = 2.22
Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.
Luas di sebelah kiri z
Φ(z) = (1 + 0.9736)/2 = 0.9868
Baca jadual-z secara terbalik
Cari 0.9868 di dalam jadual dan baca z.
z = 2.22
Jawapan
z = 2.22
6.Taburan normal
Jawapan: x = 169 cm
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
Kembali kepada x
x = 178 + −1.282·7 = 169.03 cm
Jawapan
x = 169.03 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: had bawah = −15.39 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Anggaran titik
x̄₁ − x̄₂ = 148 − 158 = −10
Ralat piawai
SE = √(10²/30 + 13²/40) = 2.749
Margin ralat
E = 1.96·2.749 = 5.389
Selang
−10 ± 5.389 → [−15.39, −4.611]
Jawapan
had bawah = −15.39 h
Selang itu tidak mengandungi 0, maka min berbeza dengan signifikan.
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 9220
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.
Selesaikan untuk n
n = 1.96²·0.4·0.6/0.01² = 9220
Bundarkan ke atas
n = 9220
Jawapan
n = 9220
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: t = 0.72
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Ralat piawai
SE = 10/√64 = 10/8 = 1.25
Statistik ujian
t = (100.9 − 100)/1.25 = 0.72
Jawapan
t = 0.72
t0.025; df = 63 = 1.998
|t| < 1.998, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 492.7
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.645·12/√16 = 4.935
Had selang
L = 497.6 − 4.935 = 492.7
Jawapan
L = 492.7
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9389
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13
Syy = Σ(y − ȳ)² = 18
Pekali penentuan
r² = −13²/(10·18) = 0.9389
Jawapan
r² = 0.9389
Kira-kira 93.89% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: x = 11.18
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 117/6 = 19.5
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 159
Garis regresi
b = 159/70 = 2.271
a = 19.5 − 2.271·7 = 3.6
ŷ = 3.6 + 2.271·x
Selesaikan untuk x
x = (29 − 3.6)/2.271 = 11.18
Jawapan
x = 11.18
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1