Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 49, 52, 55, 22, 38, 59.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 100 dan sisihan piawai 12. Cari skor-z z bagi skor 88.

μ = 100σ = 12x = 88

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 5 orang boleh dipilih daripada kumpulan 8? Susunan tidak penting.

n = 8k = 5

N =

4.KebarangkalianSukar

6 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.7, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?

n = 6p = 0.7

P =

5.Taburan normalSederhana

Jisim beg simen adalah tak bersandar dan normal dengan min 25 kg dan sisihan piawai 0.5 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 12 daripadanya melebihi 303.5 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12> 303.5 kg

P =

6.Taburan normalSukar

ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Seret titik pemotong supaya 70% teratas yang berlorek berada di sebelah kanannya. Cari titik pemotong x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

7.Selang keyakinanSederhana

Tekanan darah 6 pesakit diukur sebelum dan selepas rawatan. Beza d = sebelum − selepas (mmHg) mempunyai min 6.8 dan sisihan piawai 0.8. Cari margin ralat E bagi selang keyakinan 95% untuk min beza.

n = 6d̄ = 6.8s_d = 0.895%t(5) = 2.571

E = mmHg

8.Selang keyakinanSukar

Diameter 10 aci yang dimesin mempunyai sisihan piawai sampel 3.5 µm. Dengan mengandaikan diameter bertaburan normal, cari had bawah σ selang keyakinan 95% bagi sisihan piawai populasi. Dengan df = 9, 2.5% taburan χ² terletak di bawah 2.7 dan 2.5% terletak di atas 19.023.

n = 10s = 3.5 µmχ² = 2.7, 19.023

σ = µm

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

Min sesuatu populasi dituntut sebagai 250; sisihan piawai populasi diketahui ialah 25. Satu sampel rawak 100 cerapan mempunyai min 246.25. Uji H₀: μ = 250 terhadap H₁: μ < 250. Cari nilai-p p.

μ₀ = 250σ = 25n = 100x̄ = 246.25H₁: μ < μ₀

p =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Seberapa besarkah sampel mesti supaya selang keyakinan 99% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 0.5? Sisihan piawai ialah 12. Cari saiz sampel terkecil n.

σ = 12E = 0.599%

n =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = jam belajar dan y = skor peperiksaan. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.

n = 5

r² =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (11, 28) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(11, 28)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 13.67

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 275/6 = 45.83

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 3.167² + 6.167² + 9.167² + (−23.83)² + (−7.833)² + 13.17² = 934.8

Sisihan piawai

s = √(934.8/5) = 13.67

Jawapan

s = 13.67

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −1

Piawaikan

z = (88 − 100)/12 = −1

Jawapan

z = −1

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 56

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(8, 5) = (8·7·6·5·4)/(5·4·3·2·1) = 56

Jawapan

N = 56

4.Kebarangkalian

Jawapan: P = 0.01094

Sifar dan satu kegagalan

P(X = 0) = 0.3⁶ = 0.000729

P(X = 1) = 6·0.7·0.3⁵ = 0.01021

Tambahkannya

P = 0.000729 + 0.01021 = 0.01094

Jawapan

P = 0.01094

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.02169

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

Piawaikan

z = (303.5 − 300)/1.732 = 2.02

Kebarangkalian

P = 1 − Φ(2.02) = 0.02169

Jawapan

P = 0.02169

6.Taburan normal

Jawapan: x = 174.4 cm

Daripada luas kembali kepada z: Φ(z) ialah luas di sebelah kiri z. Untuk luas ekor kiri A, cari z dengan Φ(z) = A dalam jadual. Luas ekor kanan A bermaksud Φ(z) = 1 − A. Luas tengah A antara −z dan z meninggalkan (1 − A)/2 dalam setiap ekor, jadi Φ(z) = (1 + A)/2. Untuk nilai x, gunakan x = μ + zσ.

Luas di sebelah kiri

Φ(z) = 0.3

z daripada jadual

z ≈ −0.52

Kembali kepada unit asal

x = 178 − 0.52·7 = 174.4 cm

Jawapan

x = 174.4 cm

7.Selang keyakinan

Jawapan: E = 0.8397 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nilai genting

df = 5, t = 2.571

Margin ralat

E = 2.571·0.8/√6 = 0.8397

Jawapan

E = 0.8397 mmHg

8.Selang keyakinan

Jawapan: σ = 2.407 µm

Selang bagi suatu varians: (n − 1)s²/σ² mempunyai taburan χ² dengan darjah kebebasan n − 1. Selang 95% bagi σ² bermula daripada (n − 1)s² dibahagi nilai χ² atas (2.5% di atasnya) hingga (n − 1)s² dibahagi nilai χ² bawah (2.5% di bawahnya); selang bagi σ ialah punca kuasa dua kedua-dua had. Ia tidak simetri di sekitar s.

Hasil tambah kuasa dua

(n − 1)s² = 9·3.5² = 110.3

Had bagi σ²

110.3/19.023 = 5.796

110.3/2.7 = 40.83

Had bagi σ

σ = √5.796 = 2.407 µm

Jawapan

σ = 2.407 µm

Selang 95% bagi σ: [2.407, 6.39] µm.

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: p = 0.06681

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Statistik ujian

SE = σ/√n = 25/√100 = 2.5

z = (246.25 − 250)/2.5 = −1.5

Luas ekor

Φ(1.5) = 0.9332

1 − Φ(1.5) = 0.0668

Nilai-p

p = 0.06681

Jawapan

p = 0.06681

p > 0.05, maka H₀ tidak ditolak pada aras 5%.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: n = 3823

Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).

Selesaikan untuk n

n = (2.576·12/0.5)² = 3822

Bundarkan ke atas

n = 3823

Jawapan

n = 3823

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r² = 0.9984

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 330/5 = 66

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 166

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 690

Pekali penentuan

r² = 166²/(40·690) = 0.9984

Jawapan

r² = 0.9984

Kira-kira 99.84% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 3.557

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 99/6 = 16.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 139

Garis regresi

b = 139/70 = 1.986

a = 16.5 − 1.986·7 = 2.6

ŷ = 2.6 + 1.986·x

Nilai ramalan

ŷ = 2.6 + 1.986·11 = 24.44

Reja

e = 28 − 24.44 = 3.557

Jawapan

e = 3.557

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1