Statistik perihalan
- Min
- x̄ = Σx/n
- Sisihan piawai sampel
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Median
- nilai tengah data yang tersusun
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Taburan normal
- 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ
Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat
Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.
1Formula dan kaedah
Kebarangkalian
- Pelengkap
- P(not A) = 1 − P(A)
- Petua penambahan
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Peristiwa tak bersandar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Kebarangkalian bersyarat
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binomial
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Taburan normal
- Skor-z
- z = (x − μ)/σ
- Di bawah x
- P(X < x) = Φ(z)
- Di atas x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Antara
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Persentil
- x = μ + z·σ
Kaedah
- Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
- Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
- Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
- Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.
Selang keyakinan
- σ diketahui
- x̄ ± z·σ/√n
- σ tidak diketahui
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z genting
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- Saiz sampel
- n = (z·σ/E)², rounded up
Kaedah
- Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
- Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
- Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
- Selang: x̄ ± E.
Ujian hipotesis & selang keyakinan
- Ujian-z untuk min
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ujian-t untuk min
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Dua hujung pada 5%
- tolak H0 jika |z| > 1.96
- Selang keyakinan
- x̄ ± z·σ/√n
Kaedah
- Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
- Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
- Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
- Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.
Regresi linear & korelasi
- Hasil tambah kuasa dua
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Kecerunan
- b = Sxy/Sxx
- Pintasan
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasi
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Reja
- e = y − ŷ
2Soalan latihan
1.Statistik perihalanSederhana
Cari sisihan piawai sampel s data: 55, 16, 19, 24, 17.
n = 5
s =
2.Statistik perihalanSukar
Suatu kuantiti bertaburan normal dengan min 70 dan sisihan piawai 8. Berapakah perkadaran P nilai yang berada di atas 86?
μ = 70σ = 8x = 86
P =
3.KebarangkalianSederhana
Bagi taburan yang ditunjukkan, cari sisihan piawai σ bagi X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.25, 0.05, 0.35
σ =
4.KebarangkalianSukar
12 komponen diuji, dan setiap satu gagal dengan kebarangkalian 0.4, secara tak bersandar. Berapakah kebarangkalian P paling banyak satu gagal?
n = 12p = 0.4
P =
5.Taburan normalSederhana
X normal dengan min 12 min dan sisihan piawai 1.5 min; Y tak bersandar dan normal dengan min 20 min dan sisihan piawai 2 min. Cari kebarangkalian P bahawa X + Y melebihi 30 min. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.
μX = 12, σX = 1.5μY = 20, σY = 2X + Y > 30 min
P =
6.Taburan normalSukar
ketinggian lelaki dewasa bertaburan normal dengan min 178 cm dan sisihan piawai 7 cm. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 5% daripadanya (persentil ke-5).
μ = 178σ = 7P = 5%
x = cm
7.Selang keyakinanSederhana
Selang keyakinan 90% bagi suatu min, berdasarkan 25 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 9.9. Berapakah margin ralat E₂ jika kajian yang sama menggunakan 100 cerapan?
90%n₁ = 25E₁ = 9.9n₂ = 100
E₂ =
8.Selang keyakinanSukar
Sisihan piawai populasi ialah 12. Berapa besarkah sampel n yang anda perlukan supaya selang keyakinan 95% bagi min mempunyai margin ralat paling banyak 1.5?
σ = 12E = 1.595%
n =
9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana
Dua talian pengeluaran membuat bahagian yang sama. Talian 1: sampel 50 bahagian mempunyai min panjang 115 mm, dan sisihan piawai diketahui talian itu ialah 3 mm. Talian 2: sampel 80 bahagian mempunyai min 119.1 mm, sisihan piawai diketahui 18 mm. Cari statistik ujian z bagi H₀: μ₁ = μ₂, dengan mengambil beza sebagai x̄₁ − x̄₂ (talian 1 tolak talian 2).
n₁ = 50x̄₁ = 115 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 80x̄₂ = 119.1 mmσ₂ = 18 mm
z =
10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar
Satu sampel 64 ukuran mempunyai min 47.4. Sisihan piawai populasi ialah 15. Cari had bawah L selang keyakinan 95% bagi min.
x̄ = 47.4σ = 15n = 6495%
L =
11.Regresi linear & korelasiSederhana
Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Cari pekali penentuan r² bagi garis kuasa dua terkecil.
n = 5
r² =
12.Regresi linear & korelasiSukar
Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = perbelanjaan pengiklanan dalam k€ dan y = jualan dalam k€. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Ramalkan ŷ bagi x = 5.5.
n = 6x = 5.5
ŷ =
3Larutan
1.Statistik perihalan
Jawapan: s = 16.39
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Min
x̄ = 131/5 = 26.2
Sisihan kuasa dua
Σ(x − x̄)² = 28.8² + (−10.2)² + (−7.2)² + (−2.2)² + (−9.2)² = 1075
Sisihan piawai
s = √(1075/4) = 16.39
Jawapan
s = 16.39
2.Statistik perihalan
Jawapan: P = 0.02275
Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.
Piawaikan
z = 2
Jadual normal piawai
Φ(2) = 0.9772
P = 1 − 0.9772 = 0.02275
Jawapan
P = 0.02275
3.Kebarangkalian
Jawapan: σ = 1.281
Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σY = |a|·σX; menambah pemalar tidak mengubah serakan.
Min
μ = 0·0.35 + 1·0.25 + 2·0.05 + 3·0.35 = 1.4
Min bagi kuasa dua
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.25 + 4·0.05 + 9·0.35 = 3.6
Varians
Var(X) = 3.6 − 1.4² = 1.64
σ = √1.64 = 1.281
Jawapan
σ = 1.281
4.Kebarangkalian
Jawapan: P = 0.01959
Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sifar dan satu kegagalan
P(X = 0) = 0.612 = 0.002177
P(X = 1) = 12·0.4·0.611 = 0.01741
Tambahkannya
P = 0.002177 + 0.01741 = 0.01959
Jawapan
P = 0.01959
5.Taburan normal
Jawapan: P = 0.7881
Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μX ± μY. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σX² + σY², jadi σ = √(σX² + σY²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).
Taburan hasil tambah
μ = 32 min, σ = √(1.5² + 2²) = 2.5 min
Piawaikan
z = (30 − 32)/2.5 = −0.8
Ekor atas
P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881
Jawapan
P = 0.7881
6.Taburan normal
Jawapan: x = 166.5 cm
Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.
z untuk persentil
Φ(z) = 0.05 → z = −1.645
Kembali kepada x
x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm
Jawapan
x = 166.49 cm
7.Selang keyakinan
Jawapan: E₂ = 4.95
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Nisbah margin
E₂/E₁ = (1.645/1.645)·√(25/100) = 0.5
Margin baharu
E₂ = 9.9·0.5 = 4.95
Jawapan
E₂ = 4.95
8.Selang keyakinan
Jawapan: n = 246
Selang keyakinan bagi min: x̄ ± margin ralat. Dengan σ populasi diketahui margin ialah z·σ/√n; dengan hanya sisihan piawai sampel s, gunakan t dengan n − 1 darjah kebebasan: t·s/√n. Nilai genting: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). Untuk mendapatkan margin E atau lebih kecil, anda memerlukan n ≥ (z·σ/E)², dibundarkan ke atas.
Selesaikan untuk n
n = (1.96·12/1.5)² = 245.9
Bundarkan ke atas
Saiz sampel ialah nombor bulat, dan membundarkan ke bawah akan menjadikan margin terlalu besar.
n = 246
Jawapan
n = 246
9.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: z = −1.993
Ujian hipotesis: statistik ujian = (anggaran − nilai di bawah H₀)/(ralat piawai di bawah H₀). Nilai-p ialah kebarangkalian, dengan andaian H₀ benar, memperoleh statistik yang sekurang-kurangnya sama ekstrem dengan yang dicerap: luas dalam satu ekor bagi H₁ satu sisi, dua kali luas ekor bagi H₁ dua sisi. Tolak H₀ apabila p ≤ α.
Ralat piawai bagi beza
SE = √(3²/50 + 18²/80) = √4.23 = 2.057
Statistik ujian
z = (115 − 119.1)/2.057 = −1.993
Jawapan
z = −1.993
|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).
10.Ujian hipotesis & selang keyakinan
Jawapan: L = 43.73
Menguji min: statistik ujian mengukur berapa ralat piawai min sampel terletak daripada nilai yang dituntut dalam H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) apabila σ diketahui, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) apabila ia dianggar daripada sampel. Selang keyakinan ialah x̄ ± (nilai genting)·(ralat piawai).
Margin ralat
E = 1.96·15/√64 = 3.675
Had selang
L = 47.4 − 3.675 = 43.73
Jawapan
L = 43.73
11.Regresi linear & korelasi
Jawapan: r² = 0.9586
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 58/5 = 11.6
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 50
Syy = Σ(y − ȳ)² = 65.2
Pekali penentuan
r² = 50²/(40·65.2) = 0.9586
Jawapan
r² = 0.9586
Kira-kira 95.86% variasi dalam y diterangkan oleh garis itu.
12.Regresi linear & korelasi
Jawapan: ŷ = 70.42
Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.
Min
x̄ = 27/6 = 4.5
ȳ = 385/6 = 64.17
Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17.5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 109.5
Garis regresi
b = 109.5/17.5 = 6.257
a = 64.17 − 6.257·4.5 = 36.01
ŷ = 36.01 + 6.257·x
Ramalan
ŷ = 36.01 + 6.257·5.5 = 70.42
Jawapan
ŷ = 70.42
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1