Statistik Pengenalan: pek ulang kaji kilat

Lembaran formula, langkah kaedah utama untuk setiap topik dan 12 soalan latihan, dengan penyelesaian penuh di bahagian belakang.

Soalan baharu Kembali ke kursus

Dalam tetingkap cetak, pilih “Simpan sebagai PDF” untuk menyimpan salinan pada peranti anda.

1Formula dan kaedah

Statistik perihalan

Min: x̄ = Σx/n
Sisihan piawai sampel: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Median: nilai tengah data yang tersusun
Skor-z: z = (x − μ)/σ
Taburan normal: 68% dalam ±1σ, 95% dalam ±2σ

Kebarangkalian

Pelengkap: P(not A) = 1 − P(A)
Petua penambahan: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Peristiwa tak bersandar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Kebarangkalian bersyarat: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binomial: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Taburan normal

Skor-z: z = (x − μ)/σ
Di bawah x: P(X < x) = Φ(z)
Di atas x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Antara: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Persentil: x = μ + z·σ

Kaedah

Tukar nilai kepada skor-z: z = (x − μ)/σ.
Cari Φ(z), luas di sebelah kiri z.
Untuk luas di sebelah kanan gunakan 1 − Φ(z); untuk satu selang tolak dua luas sebelah kiri.
Untuk persentil, bekerja ke belakang: cari z untuk luas itu, kemudian x = μ + z·σ.

Selang keyakinan

σ diketahui: x̄ ± z·σ/√n
σ tidak diketahui: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z genting: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
Saiz sampel: n = (z·σ/E)², rounded up

Kaedah

Tentukan antara z (σ populasi diketahui) dan t (hanya s sampel, dengan n − 1 darjah kebebasan).
Cari nilai genting untuk aras keyakinan.
Margin ralat: E = nilai genting × sisihan piawai/√n.
Selang: x̄ ± E.

Ujian hipotesis & selang keyakinan

Ujian-z untuk min: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ujian-t untuk min: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Dua hujung pada 5%: tolak H₀ jika |z| > 1.96
Selang keyakinan: x̄ ± z·σ/√n

Kaedah

Nyatakan H₀ dan H₁ dan tentukan sama ada ujian itu satu hujung atau dua hujung.
Kira statistik ujian: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), atau dengan s dan t.
Bandingkan dengan nilai genting, atau cari nilai-p.
Tolak H₀ jika statistik melepasi nilai genting (p di bawah α), dan nyatakan kesimpulan dengan perkataan.

Regresi linear & korelasi

Hasil tambah kuasa dua: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Kecerunan: b = S_xy/S_xx
Pintasan: a = ȳ − b·x̄
Korelasi: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Reja: e = y − ŷ

2Soalan latihan

1.Statistik perihalanSederhana

Cari sisihan piawai sampel s data: 29, 36, 25, 27, 32, 19.

n = 6

s =

2.Statistik perihalanSukar

Skor peperiksaan bertaburan normal dengan min 500 dan sisihan piawai 60. Cari skor-z z bagi skor 380.

μ = 500σ = 60x = 380

z =

3.KebarangkalianSederhana

Dalam berapa cara N satu jawatankuasa 4 orang boleh dipilih daripada kumpulan 11? Susunan tidak penting.

n = 11k = 4

N =

4.KebarangkalianSukar

X mempunyai taburan yang ditunjukkan, dan Y = −2X + 5. Cari sisihan piawai σ_Y bagi Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.2, 0.15, 0.25, 0.2, 0.2Y = −2X + 5

σ_Y =

5.Taburan normalSederhana

Jisim kotak adalah tak bersandar dan normal dengan min 12 kg dan sisihan piawai 0.8 kg. Cari kebarangkalian P bahawa jumlah jisim 4 daripadanya di bawah 46.4 kg. Bundarkan z kepada dua tempat perpuluhan.

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4< 46.4 kg

P =

6.Taburan normalSukar

skor IQ bertaburan normal dengan min 100 markah dan sisihan piawai 15 markah. Cari nilai x yang di bawahnya terletak 99% daripadanya (persentil ke-99).

μ = 100σ = 15P = 99%

x = markah

7.Selang keyakinanSederhana

Selang keyakinan 99% bagi suatu min, berdasarkan 50 cerapan dan σ yang diketahui, mempunyai margin ralat 8.2. Berapakah margin ralat E₂ bagi selang 90% daripada data yang sama?

99%n₁ = 50E₁ = 8.290%

E₂ =

8.Selang keyakinanSukar

Satu kajian rintis mencadangkan bahawa kira-kira 0.4 produk adalah cacat. Berapa banyak produk n yang mesti diperiksa supaya selang keyakinan 90% bagi perkadaran mempunyai margin ralat selebar-lebarnya 0.025?

p ≈ 0.4E = 0.02590%

n =

9.Ujian hipotesis & selang keyakinanSederhana

12 pekerja mengambil ujian menaip sebelum dan selepas kursus latihan. Bagi setiap orang beza d = selepas − sebelum (perkataan seminit) direkodkan. Min beza ialah 0.95 dan sisihan piawai beza ialah 2.2. Cari statistik ujian berpasangan t bagi H₀: μ_d = 0.

n = 12d̄ = 0.95s_d = 2.2

t =

10.Ujian hipotesis & selang keyakinanSukar

Dalam satu percubaan, 68 daripada 150 pesakit yang menerima rawatan A sembuh, dan 174 daripada 300 pesakit yang menerima rawatan B. Dengan menggunakan perkadaran terkumpul, cari statistik ujian z bagi H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 68n₁ = 150x₂ = 174n₂ = 300

z =

11.Regresi linear & korelasiSederhana

Jadual memberikan 5 pasangan cerapan bagi x = suhu dalam °C dan y = aiskrim terjual. Cari pekali korelasi Pearson r.

n = 5

r =

12.Regresi linear & korelasiSukar

Jadual memberikan 6 pasangan cerapan bagi x = beban dalam kN dan y = pemanjangan dalam mm. Gunakan garis kuasa dua terkecil ŷ = a + b·x. Satu cerapan baharu (9, 39) dibuat. Cari reziduanya e = y − ŷ.

n = 6(9, 39)

e =

3Larutan

1.Statistik perihalan

Jawapan: s = 5.865

Statistik perihalan: min ialah hasil tambah dibahagi n; median ialah nilai tengah data yang disusun (purata dua nilai tengah apabila n genap). Sisihan piawai sampel ialah s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Skor-z z = (x − μ)/σ menyatakan berapa sisihan piawai suatu nilai terletak daripada min.

Min

x̄ = 168/6 = 28

Sisihan kuasa dua

Σ(x − x̄)² = 1² + 8² + (−3)² + (−1)² + 4² + (−9)² = 172

Sisihan piawai

s = √(172/5) = 5.865

Jawapan

s = 5.865

2.Statistik perihalan

Jawapan: z = −2

Piawaikan

z = (380 − 500)/60 = −2

Jawapan

z = −2

3.Kebarangkalian

Jawapan: N = 330

Kebarangkalian: dengan hasil yang sama mungkin, P(A) = baik/jumlah. Bagi peristiwa tak bersandar darabkan: P(A dan B) = P(A)·P(B). Pelengkap sering membantu: P(sekurang-kurangnya satu) = 1 − P(tiada). Binomial: dalam n percubaan tak bersandar dengan kebarangkalian kejayaan p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Gabungan

C(11, 4) = (11·10·9·8)/(4·3·2·1) = 330

Jawapan

N = 330

4.Kebarangkalian

Jawapan: σ_Y = 2.791

Pemboleh ubah rawak diskret: taburan kebarangkalian menyenaraikan setiap nilai x yang boleh diambil oleh pemboleh ubah dengan kebarangkaliannya p(x); kebarangkalian berada antara 0 dan 1 dan berjumlah 1. Nilai jangkaan (min) ialah E(X) = Σx·p(x), purata jangka panjang. Varians ialah Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², dan sisihan piawai σ = √Var(X). Bagi perubahan linear Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) dan σ_Y = |a|·σ_X; menambah pemalar tidak mengubah serakan.

Serakan X

μ = 3.05, Var(X) = 1.948, σ_X = 1.396

Perubahan linear

σ_Y = |−2|·1.396 = 2.791

Jawapan

σ_Y = 2.791

Min memang berubah: E(Y) = −2·3.05 + 5 = −1.1.

5.Taburan normal

Jawapan: P = 0.1587

Hasil tambah dan beza pemboleh ubah normal: jika X dan Y tak bersandar dan normal, X + Y dan X − Y juga normal. Min ditambah atau ditolak: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varians sentiasa ditambah, juga untuk beza: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², jadi σ = √(σ_X² + σ_Y²). Sisihan piawai tidak pernah ditambah secara langsung. Jumlah n item tak bersandar dengan taburan yang sama mempunyai min n·μ dan sisihan piawai σ·√n. Kemudian piawaikan seperti biasa: z = (x − min)/σ dan baca Φ(z).

Taburan jumlah

μ_T = 48 kg, σ_T = 0.8·√4 = 1.6 kg

Piawaikan

z = (46.4 − 48)/1.6 = −1

Kebarangkalian

P = Φ(−1) = 0.1587

Jawapan

P = 0.1587

6.Taburan normal

Jawapan: x = 134.9 markah

Taburan normal: tukar nilai x kepada skor-z, z = (x − μ)/σ, yang mengira sisihan piawai daripada min. Jadual-z (atau Φ(z)) memberikan luas di sebelah kiri z, iaitu P(X < x). Luas di sebelah kanan ialah 1 − Φ(z), dan luas antara dua nilai ialah beza antara dua luas tersebut.

z untuk persentil

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

Kembali kepada x

x = 100 + 2.326·15 = 134.89 markah

Jawapan

x = 134.89 markah

7.Selang keyakinan

Jawapan: E₂ = 5.236

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Nisbah margin

E₂/E₁ = (1.645/2.576)·√(50/50) = 0.6386

Margin baharu

E₂ = 8.2·0.6386 = 5.236

Jawapan

E₂ = 5.236

8.Selang keyakinan

Jawapan: n = 1040

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

Selesaikan untuk n

n = 1.645²·0.4·0.6/0.025² = 1039

Bundarkan ke atas

n = 1040

Jawapan

n = 1040

9.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: t = 1.496

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ralat piawai bagi min beza

SE = 2.2/√12 = 0.6351

Statistik ujian

t = 0.95/0.6351 = 1.496

Jawapan

t = 1.496

Dengan df = 11, nilai genting 5% dua sisi ialah 2.201; |t| lebih kecil, maka H₀ tidak ditolak.

10.Ujian hipotesis & selang keyakinan

Jawapan: z = −2.541

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Perkadaran sampel

p̂₁ = 68/150 = 0.4533

p̂₂ = 174/300 = 0.58

p̂ = 242/450 = 0.5378

Ralat piawai di bawah H₀

SE = √(0.5378·0.4622·(1/150 + 1/300)) = 0.04986

Statistik ujian

z = (0.4533 − 0.58)/0.04986 = −2.541

Jawapan

z = −2.541

|z| > 1.96, maka H₀ ditolak pada aras 5% (dua sisi).

11.Regresi linear & korelasi

Jawapan: r = 0.9933

Regresi kuasa dua terkecil: dengan x̄ dan ȳ ialah min, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² dan Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), garis ŷ = a + b·x mempunyai kecerunan b = Sxy/Sxx dan pintasan a = ȳ − b·x̄, maka ia sentiasa melalui (x̄, ȳ). Pekali korelasi Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) terletak antara −1 dengan 1; r² ialah pecahan variasi dalam y yang diterangkan oleh garis itu.

Min

x̄ = 110/5 = 22

ȳ = 411/5 = 82.2

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 914.8

Pekali korelasi

r = 285/√(90·914.8) = 0.9933

Jawapan

r = 0.9933

12.Regresi linear & korelasi

Jawapan: e = 4.9

Min

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 165/6 = 27.5

Hasil tambah kuasa dua dan hasil darab

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 231

Garis regresi

b = 231/70 = 3.3

a = 27.5 − 3.3·7 = 4.4

ŷ = 4.4 + 3.3·x

Nilai ramalan

ŷ = 4.4 + 3.3·9 = 34.1

Reja

e = 39 − 34.1 = 4.9

Jawapan

e = 4.9

Titik itu terletak di atas garis.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1