Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgavenTerug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen
probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig
deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
Regel van L'Hôpital
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel
(uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

  1. Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
  2. Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
  3. Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
  4. Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode
schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken
∫ab (f − g) dx

Methode

  1. Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
  2. Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor ex, 1/x, sin en cos.
  3. Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
  4. Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld
xyy = L

Bereken de limiet L = limx→∞ (1 + 2/x)3x. Geef een decimale waarde.

f(x) = (1 + 2/x)3xx → ∞
L =
2.LimietenMoeilijk
xyx = 0

Bereken de limiet L = limx→0 (e2x − 1 − 2x)/x².

f(x) = (e2x − 1 − 2x)/x²x → 0
L =
3.AfgeleidenGemiddeld
xyx = 2

Gegeven f(x) = x·sin(2x), met x in radialen. Bereken f′(2).

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad
f′(2) =
4.AfgeleidenMoeilijk
xy

Gegeven f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x − 6. Bereken de x-coördinaat x van het lokale maximum.

f(x) = x3 + 7,5x2 + 12x − 6
x =
5.OptimalisatieGemiddeld
rh

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 355 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de hoogte h van het blik waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 355 cm³
h = cm
6.OptimalisatieMoeilijk
qP(q)maximum

Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 70 − 0,25q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 1100 + 10q euro. Bereken de wekelijkse productie q die de winst maximaliseert.

p = 70 − 0,25qC = 1100 + 10q
q = stuks
7.IntegralenGemiddeld
xy26

Bereken I = ∫26 3/x dx.

f(x) = 3/x[2, 6]
I =
8.IntegralenMoeilijk
xy−33

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 9 − x² en de x-as.

y = 9 − x²
A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 403,4

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Neem de logaritme

ln L = limx→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

Bereken

ln(1 + u)/u → 1 als u → 0, dus x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

Maak de logaritme ongedaan

L = e6 = 403,4

Antwoord

L = 403,4
2.Limieten

Antwoord: L = 2

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Eerste toepassing

(2·e2x − 2)/(2x) → 0/0

Tweede toepassing

4·e2x/2

Vul x = 0 in

L = 4·1/2 = 2

Antwoord

L = 2
3.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = −3,371

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

Invullen

f′(2) = −0,7568 + 4·(−0,6536) = −3,371

Antwoord

f′(2) = −3,371
4.Afgeleiden

Antwoord: x = −4

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Afgeleide

f′(x) = 3x2 + 15x + 12 = 3·(x2 + 5x + 4)

f′(x) = 0 oplossen

x = −4 of x = −1

Welke is welke

f″(x) = 6x + 15: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(−4) = −9, f″(−1) = 9
x = −4

Antwoord

x = −4
5.Optimalisatie

Antwoord: h = 7,674 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 355/(πr²)
A(r) = 2πr² + 710/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm
A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Antwoord

h = 7,674 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: q = 120 stuks

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Winstfunctie

P(q) = (70 − 0,25q)·q − (1100 + 10q) = −0,25q2 + 60q − 1100

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −0,5 < 0, dus dit is een maximum.

q = 60/0,5 = 120

Prijs en winst

p = 70 − 0,25·120 = €40
P = 60·120 − 0,25·120² − 1100 = €2500

Antwoord

q = 120
7.Integralen

Antwoord: I = 3,296

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Primitieve

F(x) = 3·ln x

Grenzen invullen

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3,296

Antwoord

I = 3,296
8.Integralen

Antwoord: A = 36

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

9 − x² = 0 → x = ±3

Integreren

A = [9x − x³/3]−33 = 18 − (−18) = 36

Antwoord

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1