Calculus 1: samenvattingspakket

Formuleoverzichten, de belangrijkste methodestappen voor elk onderwerp en 8 oefenopgaven, met volledige oplossingen achterin.

Nieuwe opgaven Terug naar het vak

Kies in het printvenster “Opslaan als pdf” om een kopie op je apparaat te bewaren.

1Formules en methoden

Limieten

Direct invullen: probeer eerst x = a; 0/0 betekent vereenvoudigen
Ontbinden en wegdelen: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
Geconjugeerde: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
Limieten naar oneindig: deel door de hoogste macht van x; bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten
Standaardlimiet: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
Regel van L'Hôpital: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

Afgeleiden

Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
Productregel: (uv)′ = u′v + uv′
Quotiëntregel: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
Kettingregel: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
Standaardafgeleiden: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

Methode

Herken de structuur: som, product, quotiënt of samenstelling.
Pas de machtsregel toe op elke macht van x.
Gebruik waar nodig de product-, quotiënt- of kettingregel.
Vereenvoudig, en vul het punt in als daarom wordt gevraagd.

Optimalisatie

Methode: schrijf Q(x) met één variabele, los Q′(x) = 0 op, controleer Q″ of de randpunten
Maximum: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
Minimum: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
Gesloten cilinder: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
Winst: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

Integralen

Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Bepaalde integraal: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
Standaardintegralen: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Oppervlakte tussen grafieken: ∫_a^b (f − g) dx

Methode

Schrijf de integrand waar mogelijk als een som van eenvoudige termen.
Pas de machtsregel toe: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), en de standaardintegralen voor e^x, 1/x, sin en cos.
Gebruik substitutie als je een functie en haar afgeleide samen ziet.
Bereken bij een bepaalde integraal F(b) − F(a).

2Oefenopgaven

1.LimietenGemiddeld

Bereken de limiet L = lim_x→∞ (2x³ + 4x − 5)/(x³ + 5x + 5).

f(x) = (2x³ + 4x − 5)/(x³ + 5x + 5)x → ∞

L =

2.LimietenMoeilijk

Bereken de limiet L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²), met x in radialen.

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.AfgeleidenGemiddeld

Gegeven f(x) = x·sin(x), met x in radialen. Bereken f′(2).

f(x) = x·sin(x)x = 2 rad

f′(2) =

4.AfgeleidenMoeilijk

Gegeven f(x) = x³ − 12x − 5. Bereken de x-coördinaat x van het lokale minimum.

f(x) = x³ − 12x − 5

x =

5.OptimalisatieGemiddeld

Een gesloten cilindrisch blik (met deksel en bodem) moet 355 cm³ bevatten. Het gebruikte metaal is evenredig met de totale buitenoppervlakte. Bereken de straal r waarbij het minste materiaal nodig is.

V = 355 cm³

r = cm

6.OptimalisatieMoeilijk

Een bedrijf verkoopt q eenheden per week. De prijs waartegen het die kan verkopen is p = 120 − 0,2q euro per eenheid, en de kosten zijn C(q) = 6100 + 10q euro. Bereken de wekelijkse productie q die de winst maximaliseert.

p = 120 − 0,2qC = 6100 + 10q

q = stuks

7.IntegralenGemiddeld

Bereken I = ∫₀^π/2 x·cos x dx (x in radialen).

∫₀^π/2 x·cos x dx

I =

8.IntegralenMoeilijk

Bereken de oppervlakte A van het gebied tussen de parabool y = 1 − x² en de x-as.

y = 1 − x²

A =

3Oplossingen

1.Limieten

Antwoord: L = 2

Limieten: probeer eerst direct in te vullen. Geeft dat 0/0, vereenvoudig dan eerst: ontbind in factoren en deel de gemeenschappelijke factor weg, of vermenigvuldig met de geconjugeerde. Voor x → ∞ deel je teller en noemer door de hoogste macht van x. Regel van L'Hôpital: als f/g de vorm 0/0 of ∞/∞ geeft, dan is lim f/g = lim f′/g′, waarbij je teller en noemer apart differentieert (niet met de quotiëntregel).

Deel door de hoogste macht

(2 + 4/x² + (−5)/x³)/(1 + 5/x² + 5/x³)

Laat x → ∞

L = 2/1 = 2

Antwoord

L = 2

Bij gelijke graden is de limiet de verhouding van de hoogstegraadscoëfficiënten.

2.Limieten

Antwoord: L = 2,667

Eerste toepassing

4·sin 4x/(6x) → 0/0

Tweede toepassing

16·cos 4x/6

Vul x = 0 in

L = 16/6 = 2,667

Antwoord

L = 2,667

3.Afgeleiden

Antwoord: f′(2) = 0,077

Differentiëren: de afgeleide f′(x) is de helling van de grafiek in x. Machtsregel: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Productregel: (uv)′ = u′v + uv′. Kettingregel: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Waar f′(x) = 0 heeft de grafiek een horizontale raaklijn: een maximum, minimum of zadelpunt.

Product- en kettingregel

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

Invullen

f′(2) = 0,9093 + 2·(−0,4161) = 0,077

Antwoord

f′(2) = 0,077

4.Afgeleiden

Antwoord: x = 2

Afgeleide

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

f′(x) = 0 oplossen

x = −2 of x = 2

Welke is welke

f″(x) = 6x: negatief in een maximum, positief in een minimum.

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

Antwoord

x = 2

5.Optimalisatie

Antwoord: r = 3,837 cm

Optimalisatie: schrijf de te optimaliseren grootheid als functie van één variabele en gebruik de randvoorwaarde om de andere te elimineren. Stel de afgeleide gelijk aan nul en los op. Controleer dat het stationaire punt een maximum of minimum is (tweede afgeleide of tekenwisseling van de eerste afgeleide) en dat het binnen het toegestane bereik ligt; een randpunt zoals een zijde van lengte nul is niet het antwoord.

Oppervlakte als functie van r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

Afgeleide gelijk aan nul stellen

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0, dus dit is een minimum.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

Hoogte en oppervlakte

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

Antwoord

r = 3,837 cm

Het zuinigste gesloten blik is even hoog als breed: h = 2r.

6.Optimalisatie

Antwoord: q = 275 stuks

Winstfunctie

P(q) = (120 − 0,2q)·q − (6100 + 10q) = −0,2q² + 110q − 6100

Afgeleide gelijk aan nul stellen

P″(q) = −0,4 < 0, dus dit is een maximum.

q = 110/0,4 = 275

Prijs en winst

p = 120 − 0,2·275 = €65

P = 110·275 − 0,2·275² − 6100 = €9025

Antwoord

q = 275

7.Integralen

Antwoord: I = 0,5708

Partiële integratie: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, afgeleid uit de productregel. Kies voor u de factor die eenvoudiger wordt als je hem differentieert (een macht van x, of ln x), en voor dv de factor die je kunt integreren (eˣ, sin x, cos x, of x als u = ln x). Bereken bij een bepaalde integraal u·v op beide grenzen: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Een factor x² vraagt om twee rondes.

Kies u en dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Primitieve

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Limieten

(π/2·sin π/2 + cos π/2) − (0 + 1) = 0,5708

Antwoord

I = 0,5708

8.Integralen

Antwoord: A = 1,333

Bepaalde integralen: ∫ₐᵇ f(x) dx is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek en de x-as van a tot b. Zoek een primitieve F (met F′ = f) en bereken F(b) − F(a). Machtsregel: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). De oppervlakte tussen twee krommen is ∫(bovenste − onderste) dx.

Nulpunten

1 − x² = 0 → x = ±1

Integreren

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

Antwoord

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1