Je hebt over 7 jaar €15 000 nodig. Een rekening geeft 3 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel moet je vandaag storten? Bereken de contante waarde PV.
FV = €15 0003% / 12n = 7
PV = €
2.Tijdswaarde van geldMoeilijk
Een lening van €30 000 wordt in 6 jaar afgelost met gelijke maandbedragen tegen 5,4 % per jaar, maandelijks samengesteld. Hoeveel rente I wordt er in totaal over de looptijd van de lening betaald?
P = €30 0005,4% / 12N = 72
I = €
3.NCW & IRRGemiddeld
Een investering van €75 000 levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 deze kasstromen op: €32 000, €35 000, €24 000. De vermogenskosten zijn 9 %. Bereken de netto contante waarde NPV.
Een project kost €20 000 en levert aan het eind van jaar 1 tot en met 3 €7 500, €12 000, €13 000 op. Bereken de interne rentabiliteit IRR in procenten.
CF0 = −20 000CF1 = 7 500CF2 = 12 000CF3 = 13 000
IRR = %
5.Obligatiekoers en rendementGemiddeld
Je koopt een obligatie met een resterende looptijd van 12 jaar (nominale waarde €1 000, jaarlijkse coupon 4%) als het effectieve rendement 5,5% is. Een jaar later, direct na ontvangst van de eerste coupon, verkoop je haar als het effectieve rendement 6% is. Bereken je perioderendement (holding period return) HPR in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 12y0 = 5,5%y1 = 6%
HPR = %
6.Obligatiekoers en rendementMoeilijk
Een obligatie met een nominale waarde van €1 000 en een jaarlijkse coupon van 4% loopt over 10 jaar af en wordt verkocht voor €1 085. Bereken het effectieve rendement YTM in procenten.
F = €1 000coupon = 4%n = 10P = €1 085
YTM = %
7.CAPM en WACCGemiddeld
Een onderneming is gefinancierd met gewone aandelen ter waarde van €12 000 000, preferente aandelen ter waarde van €1 500 000 en vreemd vermogen ter waarde van €6 000 000. De kosten van het eigen vermogen zijn 13%, de kosten van de preferente aandelen 7% en de kosten van het vreemd vermogen vóór belasting 5%. Het belastingtarief is 28%. Bereken de WACC.
Een onderneming heeft 2 000 000 aandelen van €60,00 per stuk en 40 000 obligaties met een koers van €960 per stuk. De kosten van het vreemd vermogen vóór belasting zijn 5% en het belastingtarief is 25%. De bèta van het aandeel is 1,8, de risicovrije rente 2,5% en het marktrendement 7,5%. Bereken de WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 7,5%rd = 5%T = 25%
WACC = %
9.Beschrijvende statistiekGemiddeld
Bereken de steekproefstandaardafwijking s van de gegevens: 37, 58, 11, 10, 20, 18.
n = 6
s =
10.Beschrijvende statistiekMoeilijk
Een grootheid is normaal verdeeld met gemiddelde 70 en standaardafwijking 5. Welk deel P van de waarden ligt onder 72?
μ = 70σ = 5x = 72
P =
11.KansrekeningGemiddeld
Er wordt 4 keer met een eerlijke dobbelsteen gegooid. Wat is de kans P op minstens één zes?
n = 4
P =
12.KansrekeningMoeilijk
Een toets heeft 8 meerkeuzevragen. Een student die gokt, heeft elke vraag onafhankelijk goed met kans 0,3. Wat is de kans P op precies 1 goede antwoorden?
n = 8p = 0,3k = 1
P =
13.Normale verdelingGemiddeld
Sleep z zo dat het gearceerde oppervlak tussen −z en z onder de standaardnormale kromme 0,4245 is. Bepaal z op twee decimalen.
A = 0,4245
z =
14.Normale verdelingMoeilijk
De lengtes X van mannen en Y van vrouwen in een groep zijn onafhankelijk en normaal verdeeld: X heeft gemiddelde 180 cm en standaardafwijking 10 cm, Y heeft gemiddelde 170 cm en standaardafwijking 12 cm. Bepaal de kans P dat X groter is dan Y. Rond z af op twee decimalen.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
15.BetrouwbaarheidsintervallenGemiddeld
Een steekproef van 25 items heeft gemiddelde 115,5 en standaardafwijking s = 10. De populatie is bij benadering normaal verdeeld. Bereken de bovengrens van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het gemiddelde.
n = 25x̄ = 115,5s = 1095%t(24) = 2,064
bovengrens =
16.BetrouwbaarheidsintervallenMoeilijk
De diameters van 10 bewerkte assen hebben een steekproefstandaardafwijking van 11,2 µm. Neem aan dat de diameters normaal verdeeld zijn en bereken de ondergrens σ van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de standaardafwijking van de populatie. Bij df = 9 ligt 2,5% van de χ²-verdeling onder 2,7 en 2,5% boven 19,023.
Een steekproef van 81 studenten heeft een gemiddelde score van 73,84 en een steekproefstandaardafwijking van 4. Bereken de toetsingsgrootheid t voor H₀: μ = 75.
Hoe groot moet een steekproef zijn zodat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde een foutmarge van hoogstens 1 heeft? De standaardafwijking is 15. Bereken de kleinste steekproefomvang n.
σ = 15E = 195%
n =
19.Lineaire regressie en correlatieGemiddeld
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Bereken de correlatiecoëfficiënt van Pearson r.
n = 5
r =
20.Lineaire regressie en correlatieMoeilijk
De tabel geeft 5 gepaarde waarnemingen van x = temperatuur in °C en y = verkochte ijsjes. Gebruik de kleinstekwadratenlijn ŷ = a + b·x. Voorspel ŷ voor x = 18,5.
n = 5x = 18,5
ŷ =
3Oplossingen
1.Tijdswaarde van geld
Antwoord: PV = 12162 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Rente en aantal perioden
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·7 = 84
Contante waarde
PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1,233 = €12 161,95
Antwoord
PV = €12 161,95
2.Tijdswaarde van geld
Antwoord: I = 5189 €
Tijdswaarde van geld: geld vandaag is meer waard dan hetzelfde bedrag later, omdat het rente kan opbrengen. Bij een rente i per periode groeit een bedrag tot FV = PV·(1 + i)n. Een reeks gelijke betalingen (een annuïteit) waardeer je door alle betalingen op te tellen; daaruit volgen de annuïteitenformules.
Maandbedrag
i = 0,0045, N = 72
A = 30 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)−72) = €488,73
Totale rente
I = N·A − P = 72·488,7 − 30 000 = €5 188,85
Antwoord
I = €5 188,85
3.NCW & IRR
Antwoord: NPV = 2349 €
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
Contante waarde van elke kasstroom
CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 32 000/1,09 = 29 357,80
CF2/(1 + 0,09)2 = 35 000/1,188 = 29 458,80
CF3/(1 + 0,09)3 = 24 000/1,295 = 18 532,40
Optellen
NPV = €2 349,00
Antwoord
NPV = €2 349,00
De NCW is positief, dus het project verdient meer dan het vereiste rendement.
4.NCW & IRR
Antwoord: IRR = 26,03 %
Netto contante waarde: zet elke kasstroom met het vereiste rendement r terug naar vandaag en tel ze op: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Een project met NPV > 0 verdient meer dan r en voegt waarde toe. De interne rentabiliteit (IRR) is de rente waarbij NPV = 0.
De IRR insluiten
De NCW daalt als de rente stijgt, dus de IRR ligt tussen een rente met positieve en een met negatieve NCW.
NPV(25%) = 336,00
NPV(30%) = −1 213,02
Verfijnen
Lineair interpoleren geeft een eerste schatting; dat herhalen (of de IRR-functie van een rekenmachine) geeft de exacte rente.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Obligatiewaardering: de koers van een obligatie is de contante waarde van haar kasstromen, verdisconteerd tegen het effectieve rendement (yield to maturity, YTM): de coupons vormen een annuïteit en de nominale waarde wordt op de aflossingsdatum terugbetaald. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Als het rendement boven de couponrente ligt, noteert de obligatie onder de nominale waarde, en omgekeerd.
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Vermogenskosten: CAPM geeft het rendement dat aandeelhouders eisen: re = rf + β·(rm − rf). De gewogen gemiddelde vermogenskosten combineren eigen en vreemd vermogen naar hun marktwaarden: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), met V = E + D. Rente is fiscaal aftrekbaar, vandaar de (1 − T).
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Beschrijvende statistiek: het gemiddelde is de som gedeeld door n; de mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde gegevens (het gemiddelde van de twee middelste als n even is). De steekproefstandaardafwijking is s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Een z-score z = (x − μ)/σ zegt hoeveel standaardafwijkingen een waarde van het gemiddelde ligt.
Standaardiseren
z = 0,4
Tabel standaardnormale verdeling
Φ(0,4) = 0,6554
P = 0,6554
Antwoord
P = 0,6554
11.Kansrekening
Antwoord: P = 0,5177
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Complement
P(geen zes) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177
Antwoord
P = 0,5177
12.Kansrekening
Antwoord: P = 0,1977
Kansrekening: bij even waarschijnlijke uitkomsten is P(A) = gunstig/totaal. Bij onafhankelijke gebeurtenissen vermenigvuldig je: P(A en B) = P(A)·P(B). De complementregel helpt vaak: P(minstens één) = 1 − P(geen). Binomiaal: bij n onafhankelijke pogingen met succeskans p geldt P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binomiale formule
P(X = 1) = 8·0,31·0,77 = 8·0,3·0,08235 = 0,1977
Antwoord
P = 0,1977
13.Normale verdeling
Antwoord: z = 0,56
Van een oppervlak terug naar z: Φ(z) is het oppervlak links van z. Zoek voor een linkerstaartoppervlak A de z met Φ(z) = A in de tabel. Een rechterstaartoppervlak A betekent Φ(z) = 1 − A. Een centraal oppervlak A tussen −z en z laat (1 − A)/2 in elke staart over, dus Φ(z) = (1 + A)/2. Gebruik voor een waarde x de formule x = μ + zσ.
Oppervlak links van z
Φ(z) = (1 + 0,4245)/2 = 0,7123
Lees de z-tabel achterstevoren
Zoek 0,7123 in de tabel en lees z af.
z = 0,56
Antwoord
z = 0,56
14.Normale verdeling
Antwoord: P = 0,7389
Sommen en verschillen van normale variabelen: als X en Y onafhankelijk en normaal verdeeld zijn, zijn X + Y en X − Y ook normaal verdeeld. Gemiddelden tellen op of worden afgetrokken: E(X ± Y) = μX ± μY. Varianties tellen altijd op, ook bij een verschil: Var(X ± Y) = σX² + σY², dus σ = √(σX² + σY²). Standaardafwijkingen tellen nooit rechtstreeks op. Het totaal van n onafhankelijke items met dezelfde verdeling heeft gemiddelde n·μ en standaardafwijking σ·√n. Standaardiseer daarna zoals gewoonlijk: z = (x − gemiddelde)/σ en lees Φ(z) af.
Verdeling van het verschil
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standaardiseren
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Kansrekening
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Antwoord
P = 0,7389
15.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: bovengrens = 119,6
Betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde: x̄ ± foutmarge. Met een bekende populatie-σ is de marge z·σ/√n; heb je alleen de steekproefstandaardafwijking s, gebruik dan t met n − 1 vrijheidsgraden: t·s/√n. Kritieke waarden: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Voor een marge van E of kleiner heb je n ≥ (z·σ/E)² nodig, naar boven afgerond.
Kritieke waarde
df = n − 1 = 24, t = 2,064
Foutmarge
E = 2,064·10/√25 = 4,128
Interval
115,5 ± 4,128 → [111,4, 119,6]
Antwoord
bovengrens = 119,6
16.Betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: σ = 7,704 µm
Interval voor een variantie: (n − 1)s²/σ² heeft een χ²-verdeling met n − 1 vrijheidsgraden. Het 95%-interval voor σ² loopt van (n − 1)s² gedeeld door de bovenste χ²-waarde (2,5% erboven) tot (n − 1)s² gedeeld door de onderste χ²-waarde (2,5% eronder); het interval voor σ is de wortel van beide grenzen. Het is niet symmetrisch rond s.
Kwadratensom
(n − 1)s² = 9·11,2² = 1129
Grenzen voor σ²
1129/19,023 = 59,35
1129/2,7 = 418,1
Grens voor σ
σ = √59,35 = 7,704 µm
Antwoord
σ = 7,704 µm
95%-interval voor σ: [7,704, 20,45] µm.
17.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: t = −2,61
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
Standaardfout
SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444
Toetsingsgrootheid
t = (73,84 − 75)/0,4444 = −2,61
Antwoord
t = −2,61
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, dus H₀ wordt verworpen op het 5%-niveau (tweezijdig).
18.Hypothesetoetsen & betrouwbaarheidsintervallen
Antwoord: n = 865
Toetsen van een gemiddelde: de toetsingsgrootheid meet hoeveel standaardfouten het steekproefgemiddelde van de waarde in H₀ af ligt: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) als σ bekend is, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) als die uit de steekproef wordt geschat. Een betrouwbaarheidsinterval is x̄ ± (kritieke waarde)·(standaardfout).
n oplossen
n = (1,96·15/1)² = 864,4
Naar boven afronden
n = 865
Antwoord
n = 865
19.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: r = 0,9933
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.
Gemiddelden
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 544/5 = 108,8
Kwadraten- en productsommen
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 504
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2861
Correlatiecoëfficiënt
r = 504/√(90·2861) = 0,9933
Antwoord
r = 0,9933
20.Lineaire regressie en correlatie
Antwoord: ŷ = 51,25
Kleinstekwadratenregressie: met x̄ en ȳ de gemiddelden, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² en Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) heeft de lijn ŷ = a + b·x helling b = Sxy/Sxx en snijpunt a = ȳ − b·x̄, dus gaat ze altijd door (x̄, ȳ). De correlatiecoëfficiënt van Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) ligt tussen −1 en 1; r² is het deel van de variatie in y dat door de lijn wordt verklaard.